论文部分内容阅读
张量在物理学中的连续介质力学和量子力学,化学中的荧光激发发射数据,医学中的多通道脑电图,社会网络分析中的通信数据,计算机视觉中的图像压缩、人脸识别以及高光谱图像等方面都有广泛应用。许多学者在张量理论方面都做了很多有意义的工作。张量的谱理论是目前一个重点的研究方向。本文将首先讨论偶数阶对称张量H-特征值的区间估计,我们刻画了结构张量B-张量的一些性质,根据其性质,我们得到了一个包含偶数阶对称张量所有H-特征值的区间,我们把该区间称为B-区间。进一步的,我们定义了两类新的结构张量,双B-张量和拟双B-张量,可以证明双B-张量和拟双B-张量分别是双B-张量和拟双B-张量的子集,而双B-张量是拟双B-张量的子集。我们根据拟双B-张量的特殊性质,得到了一个新的偶数阶对称张量H-特征值的估计区间,称为QDB-区间,我们证明了该区间比B-区间要精确,并且该区间在某些方面优于现有的特征值估计方法。本文的另一个重要工作是讨论了经济学中重要的不等式,Laguerre-Samuelson不等式。该不等式反应了一系列实观测值以及它们的期望和方差之间的关系。本文的主要贡献是利用Bessel不等式证明了该不等式对于复观测值也成立。同时,我们给出了该不等式在概率空间上的形式。进一步的,我们利用Laguerre-Samuelson不等式给出了三个应用,即矩阵特征值的估计,多项式根的估计和张量特征值的估计。广义逆理论也是线性代数中一个重要的分支,我们利用张量的t-乘积定义了张量的Moore-Penrose逆以及张量的{1}-逆,{1,2}-逆,{1,3}-逆和{1,4}-逆等张量广义逆。利用张量方程的一般解,我们给出了张量广义逆的具体表示。进一步的,我们讨论了张量方程的最小二乘解、极小范数解和最小二乘极小范数解,并且发现了其与张量的{1,3}-逆、{1,4}-逆和Moore-Penrose逆之间的关系。利用Matlab的相关内置函数,我们给出了一个算法来计算张量的Moore-Penrose逆。同时,我们给出了张量广义逆在高阶Gauss-Markov定理上的应用。最后,我们讨论了环上广义逆的吸收律,我们给出了Moore-Penrose逆,群逆,核逆,对偶核逆,{1}-逆,{1,2}-逆,{1,3}-逆和{1,4}-逆等广义逆的吸收律成立的等价条件。进一步的,我们讨论了这些广义逆的混合吸收律。