在二十世纪末的1988年，Abraham A.Ungar发现了Einstein速度加法法则具有类似群的代数结构，之后被称为gyro群.后来结合Einstein数乘，创立了Einstein gyro向量空间.Gyro向量空间与双曲几何的关系好比是向量空间与欧式几何的关系.这一新的发现将为我们研究双曲几何提供强有力的武器，是双曲几何，乃至数学界的一重大发展.Scott Walter([52])就曾经对A.Ungar的作品([17])给予了大力地肯定和支持.在20多年来，它的发展主要运用analogy的手段将欧式空间中好的结论推广到新的空间中来.Ungar.A.A在新空间上建立了一套完善的体系，当然它也有很多的空白急需填补，这也是我文章中主要的工作.比如，在欧式空间中有很多优秀性质、被誉为现代几何明珠的类似重心，将是本文重点研究的对象，我将考虑它在两类gyro空间上的gyro重心坐标公式，并将它在欧式上的结论推广到gyro向量空间中.　　 2009年，随着Abraham A.Ungar给出了gyro向量空间（包括Einstein gyro向量空间和M(o)bius gyro向量空间）中的gyro重心坐标公式，将gyro语言进一步的完善，gyro2维、3维乃至高维空间中的单形内部的特殊点的坐标研究又上升到了一个新的平台，得到很多好的结果.一大批学者，如MiltonFerreira([30,31]), Nilgun Sonmez([31]),Tuval Foguel([35]),C.barbu([24,25]),Demirel Oguzhan([51])等等，在此期间投身gyro领域的研究或给予高度的关注.本文的工作正是与gyro重心坐标的内容相匹配.现在，gyro向量空间的研究与多个学科分支相互促进，它的理论广泛应用于并推动双曲几何、相对论、量子物理、Clifford代数等领域的发展.　　 本文主要介绍了我通过Einstein gyro向量空间中gyro重心坐标公式的应用对该空间中的gyro类似重心做了的研究，比如分别在Einstein gyro向量空间和M(o)bius gyro向量空间中得到各自的gyro重心坐标公式的表达式，将类似重心在欧式空间上的一些好的性质和有趣的结论运用Einstein gyro向量空间上的一些基本理论和gyro重心坐标公式，推广到gyro向量空间.在论文前，我特别向这一领域的创始人Ungar.A.A通过Email交流了我的想法，他表示2，3维gyro单形中的gyro类似重心的gyro重心坐标公式目前还没有人作过，值得尝试;文章完成后，他表示这是一个novel and interesting result，可以尝试去发表一下.我将在文章中给出我在gyro重心坐标领域中所做出的结果.　　 下面是文章的结构，本文共分为三章:　　 第一章，介绍本文研究的理论背景，将对gyro向量空间中的Einstein速度加法和数乘，M(o)bius速度加法和数乘，以及gyro群等作初步的介绍，并且阐明gyro空间与双曲空间的紧密联系.有关gyro向量空间的介绍结束后，我们将说明Einstein gyro向量空间和M(o)bius gyro向量空间是同构的，并给出两个空间中gyro向量相互转化的关系式.　　 第二章，介绍2009年Abraham A.Ungar教授给出的gyro空间中的gyro重心坐标公式和已有结果，它的形式与欧式空间的有类似之处，但是多了一个gamma因子，因此计算和作用的步骤也比欧式较烦琐一些.为了更好的让大家理解gyro重心坐标公式，我先给出Ungar已有的几个重要结果:gyro2维单形（后面都通俗的称为gyro三角形）的垂心、重心在两类gyro向量空间上的坐标表达式等等，当然gyro3维单形（后面通俗的称为gyro四面体）上也有相应的好的结果.然后，对另外一个重要的概念引入gyro空间，即gyro类似重心.我们将分别在Einstein gyro空间和M(o)bius gyro向量空间上给出gyro类似重心相应的gyro重心坐标公式.方法与Ungar教授([16])在处理gyro重心、gyro中心等单形内重要的点的gyro重心坐标公式时用到的方法类似.首先，是在Einstein gyro向量空间上计算它的坐标公式，这是由于与Einsteingyro向量空间相匹配的双曲几何球状模型上可以运用向量代数的知识.然后，根据我们前边提到的Einstein gyro向量空间和M(o)bius gyro空间的同构关系和转化式子，直接推出结果.之后，将类似重心在欧式空间上的一些性质移植到gyro空间上.在本文中，我的主要结论如下:　　 定理2.1:令点集{A1，A2，A3}中三点在Einstein gyro向量空间(Rns，⊕，(⊕))，n≥2上相互独立.那么由点集{A1，A2，A3}中三个元素组成的gyro三角形A1A2A3的gyro类似重心有下面的gyro重心坐标公式:　　 S=a223γ223γA1A1+a213γ213γA2A2+a212γ212γA3A3/a223γ223γA1+a213γ213γA2+a212γ212γA3该gyro重心坐标公式是关于集合{A1，A2，A3}所给出的，其相应的gyro坐标为(m1∶m2∶m3)=（a223γ223∶a213γ213∶a213γ212），或者S=(γ223-1)γA1A1+(γ213-1)γA2A2+(γ212-1)γA3A3/(γ223-1)γA1+（γ213-1）γA2+（γ212-1）γA3该gyro重心坐标公式也是关于集合{A1，A2，A3}所给出的，其相应的gyro坐标为(m1∶m2∶m3)=(γ223-1∶γ213-1∶γ212-1).　　 对于gyro空间中的gyro类似重心，它也有如欧式空间中的一些好的性质，这也是我们研究gyro类似重心的意义所在.我们在下边的性质2.2-2.5，要考查欧式空间中的性质能否在新的空间中成立或改进后得到成立.　　 性质2.2:令S为gyro三角形A1A2A3的gyro类似重心，D1，D2和D3分别为点S到该gyro三角形三个gyro边，A2A3，A1A3，A2A3，上的垂直投影，即作垂线段到各gyro边或其延长线上，与gyro边的交点.那么有下边式子成立:（γSD1|| SD1||∶γsD2|| SD2||∶γSD3|| SD3||)=(γ23a23∶γ13a13∶γ12a12)(0.1)其中，有关a12，a13，a23的定义与定理2.1中的相同，我将在论文的正文第二章中详细给出.　　 要想得到性质2.2中的结果，我们需要先考虑下面的性质2.3.　　 性质2.3:在Einstein gyro向量空间(Rns，⊕，(⊕))n≥2中，集合{A1，A2，A3}里面的元素为相互独立的，构成gyro空间上的gyro三角形A1A2A3.令Sx为从gyro三角形顶点A3出发的gyro类似中线A3F12（两端点A2和F13之间）上任意一点，D31为Sx到gyro边A2A3或其延长线上的投影.同样，我们定义D32为Sx到gyro边A1A3或其延长线上的投影.我们有下面的关系式成立，γSxD31||SxD31||γ23a23(0.2)γSxD32|| SxD32||γ13a13当然，对于它的其他两条gyro类似中线也有同样的结论.　　 下面我们开始考虑性质2.2逆问题，它的的逆问题是否成立呢？为此我们先考虑性质2.3的的逆问题.　　 性质2.4（性质2.3的逆问题）:在Einstein gyro向量空间（Rns，⊕，(⊕))n≥2中，集合{A1，A2，A3}里面的元素为相互独立的，构成gyro空间上的gyro三角形A1A2A3.令Px为gyro三角形A1A2A3内部满足下面方程的任意一点γPxH31|| PxH31||γ23 a23(0.3)γPxH32|| PxH32||γ13a13’其中，H31为点Px到gyro边A2A3或其延长线上的投影，同样地，H32为点Px到到gyro边A1A3或其延长线上的投影.那么，Px必在gyro类似中线A3F12上.　　 同理，我们可以考虑其它两条gyro类似中线上的情况，也可以得到同样结论:　　 性质2.4’（性质2.3的逆问题）:在Einstein gyro向量空间（Rns，⊕，(⊕))n≥2中，集合{A1，A2，A3}里面的元素为相互独立的，构成gyro空间上的gyro三角形A1A2A3.令Py（Pz）为gyro三角形A1A2A3内部满足下面方程(0.4)((0.5))的任意一点γPyH21|| PyH21||γ23 a23(0.4)γPyH23|| PyH23||γ12a12’γPzH12||PzH12||/γPzH13||PzH13||=γ13a13/γ12a12(0.5)其中，H23(H12)为点Py到到gyro边A1A2(A1A3)或其延长线上的投影，H21(H13)为点Pz到gyro边A2A3(A1A2)或其延长线上的投影.那么，Py（Pz）必在gyro类似中线A2F13(A1F23)上.　　 有了上面性质2.4的保证，我们前面对于性质2.2的逆问题的思考，可以有相应的答案了.　　 性质2.5（性质2.2的逆问题）:令{A1，A2，A3}为gyro向量空间(Rns，⊕，(⊕))n≥2中的集合，里面的元素互相独立，构成gyro向量空间的一个gyro三角形.令P为gyro三角形A1A2A3内部的任意一点，Hi，H2和H3分别为P到gyrp三角形的gyro边A2A3，A1A3，A2A3，上的垂直投影.如果点P满足下边式子(γPH1|| PH1||∶γPh2|| PH2||∶γPH3|| PH3||)=(γ23a23∶γ13a13∶γ12a12)(0.6)　　 那么，P必为该gyro三角形的gyro类似重心.　　 在第三章中，我们继续讨论gyro类似重心在M(o)bius gyro向量空间上的gyro重心坐标公式.　　 定理3.1:令A1A2A3为M(o)bius gyro向量空间(Vs，⊕，(⊕))上的任意一个gyro三角形.它关于gyro三角形A1A2A3的三个顶点A1，A2，A3的gyro类似重心坐标公式为Sm=1/ m1γ2A1A1+m2γ2A2A2+m3γ2A3A3=2⊕(0.7)m1γ2A1+m2γ2A2+m3γ2A3-1/2(m1+m2+m3）其中，m1，m2，m3为M(o)bius gyro向量空间意义下的gyro重心坐标，具体可表示为m1=4γ223(γ223-1)m2=4γ213(γ213-1)(0.8)m3=4γ212(γ212-1)上边三个等式中的gamma因子定义如下，γij=γ(☉)MAi⊕MAj，(0.9)i.j=1，2，3，且i＜j.　　 第四章，我们将在gyro3维单形上研究gyro类似重心，并考察它存在的条件.研究的过程与二、三两章类似，我得到下边的几个结果.　　 首先，我们要考虑什么样的单形是我们要考虑的，所以需要先考虑下面引理4.1的问题.　　 引理4.1:在Einstein gyro向量空间（Rns，⊕，(⊕)），n≥3中，若一个gyro3维单形存在gyro类似重心，那么它必满足下边的式子　　 (γ223-1)(γ214-1)=（γ212-1）=(γ224-1)(γ213-1)，或者，a223γ223a214γ214=a212γ212a234γ234=a213γ213a224γ224，其中，各gamma因子的定义在第四章定理证明部分给出.　　 下面我们来到研究的重点，考虑引理4.1条件下的gyro类似重心的gyro重心坐标公式:　　 定理4.2:令点集{A1，A2，A3，A4}中四个点在Einstein gyro向量空间(Rns，⊕，(⊕))，n≥3上相互独立.那么由点集A1，A2，A3，A4中四个元素组成的gyro四面体A1A2A3A4（在满足引理4.1的条件下）的gyro类似重心有下面的gyro重心坐标公式:　　 S=m1γA1A1+m2γA2A2+m3γA3A3+m4γA4A4/m1γA1+ m2γA2+m3γA3+m4γA4’　　 其中，(m1∶ m2∶ m3∶ m4)为　　 a213γ213a224γ224∶a213γ213a214γ214∶a212γ212a214γ214∶a212γ212a213γ213，是gyro类似重心关于集合{A1，A2，A3，A4}的gyro重心坐标，也可以表示为（（γ213-1）（γ224-1）∶(γ123-1)(γ214-1)∶(γ212-1)(γ214-1)∶(γ212-1)(γ213-1))，根据引理中条件4.1还可以生成其他形式的结果，但是比值是相同的.　　 与前面2维gyro单形的研究类似，我们可以将得到的结果推广到相应的M(o)bius gyro向量空间上:　　 定理4.3:令A1A2A3A4为M(o)bius gyro向量空间(Vs，⊕，(⊕))上的一个gyro四面体，满足条件　　 γ213γ224（γ213-1）（γ224-1）=γ214γ223（γ214-1）（γ223-1）=γ212γ234(γ212-1）（γ234-1），那么它存在gyro类似重心，且关于该gyro四面体A1A2A3A4的四个顶点A1，A2，A3，A4的gyro类似重心坐标公式为　　 S=1/2⊕∑4k=1mkγ2AkAk(0.10)/∑4k=1mk（γ2Ak-1/2)　　 其中，S是M(o)bius gyro向量空间(Vs，⊕，(⊕))中gyro四面体A1A2A3A4的gyro类似重心，(m1∶m2∶m3∶m4)为它的gyro重心坐标，即m1=16γ223γ224(γ223-1)（γ224-1），m2=16γ213γ224(γ213-1)（γ224-1），m3=16γ212γ224（γ212-1）（γ224-1），m4=16γ212γ223(γ212-1)(γ223-1).　　 在M(o)bius gyro向量空间上，符合条件的gyro四面体还存在多种形式的gyro类似重心的等价坐标，我们不一一列举了.