分数阶微积分是研究任意阶微分和积分的理论,是普通的整数阶微分和积分向非整数阶的推广.分数阶微分有助于神经元高效的信息处理,并可以触发神经元的振荡频率的独立转变.并且分数阶微积分模型提出了新的实验和测量方法,可以动态的揭示生物系统结构和意义.因此,在神经细胞组织,通过应用分数阶微积分,可以瓦解单个分子膜的固有复杂性,提供了对生物系统的功能和行为的一种整体理解.此外,神经网络是一种复杂的大规模动力系统,具有十分丰富的动力学属性.为了易于分析和应用,许多神经网络模型忽略了神经元之间信息传输所带来的时间延迟.但是,理论和实践证实,时滞是客观存在的,故考虑时滞神经网络是很重要的.相比较整数阶神经网络,分数阶神经网络目前处于刚刚开始的阶段,理论结果较少.总之,分数阶生物神经元和神经网络的动力学研究处于开始阶段,还有大量有趣和有意义的工作可做.因此,分数阶神经元和神经网络是一个非常有前途的研究课题.本论文主要研究了简化的Hodgkin-Huxley神经元模型及分数阶Hodgkin-Huxley(H-H)神经元模型的动力学性质.并且重点研究了时滞分数阶Hopfield神经网络的稳定性及全局稳定性,具体工作如下：1.研究了外电场作用下的简化H-H神经元模型动力学性质.本文给出了一个简化的H-H模型,所给的简化模型既保留了H-H神经元模型的基本结构且和原H-H模型有一致的动力学特征.并得到了其详细的动力学性质,包括稳定性和极限环的稳定性及canards.基于Hopf分岔定理和规范形理论,给出了Hopf分岔的充要条件及分岔方向.此外,讨论简化H-H模型系数的线性形式,具体的给出了斜率的范围,斜率在某些范围可以很好的保留原模型的性质.2.研究了分数阶H-H神经元模型动力学性质,包括稳定性分析和周期放电及两个临界值随分数阶阶数的变化.首先,介绍了一个分数阶H-H神经元模型,分析了其随控制参数变化的稳定性,得到了参数的稳定与不稳定区域.分析可知分数阶阶数越小稳定区域越大,不稳定区域越小.其次,研究了两个临界值随分数阶阶数的变化.得到了由稳定态到周期态的临界值是随着分数阶阶数的增大而减小,而跨膜电压经周期振荡到衰减振荡恢复到静息状态的临界值随着分数阶阶数的增大而增大,并可知其周期放电区间也是随着分数阶阶数的增大而增大.3.研究了时滞分数阶Hopfield神经网络系统的稳定性.首先,给出了时滞分数阶系统的稳定性定理,基于时滞分数阶稳定性定理,讨论二维时滞分数阶神经网络的稳定性,根据不同的参数,得到了相应的稳定性条件.其次,研究了两类不同环结构的时滞分数阶神经网络模型.一类为每个神经元仅连接到其最接近的一个神经元,并考虑了与环结构神经网络相同的环延时反馈作用.另一类为每个神经元连接到其最接近的两个神经元,并考虑自身的反馈作用,并给出了稳定性条件.此外,研究了带有中心结构的时滞分数阶神经网络的稳定性,给出了稳定性条件.并通过数值仿真分析了当初始条件变得复杂时包括随机和周期函数,中心结构的时滞分数阶神经网络在所给的稳定性条件下依然保持稳定.4.研究了时滞分数阶Hopfield神经网络的全局一致渐近稳定性分析,给出一类时滞分数阶系统的比较定理.基于比较定理和李雅普诺夫稳定性定理,给出了时滞分数阶神经网络全局一致渐近稳定的条件,并证明了平衡解的存在唯一性.此外,运用比较定理和时滞系统的稳定性定理,给出了带有有界扰动的时滞分数阶神经网络的全局一致稳定的条件.