【摘 要】
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我们探讨两类时间分数阶扩散波方程的反问题:源项辨识问题和初值反演问题。从理论上分析了两类反问题不适定的原因,基于它们的不适定性,我们提出两种正则化方法来求解。一是依托Landweber迭代正则化的思想,构造一个从问题角度出发的迭代正则化;二是将Tikhonov正则化中的单位算子进行改造,提出一个变分正则化方法。具体研究内容如下:（1）研究时间分数阶扩散波方程的源项辨识问题,包括Dirichlet边
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我们探讨两类时间分数阶扩散波方程的反问题:源项辨识问题和初值反演问题。从理论上分析了两类反问题不适定的原因,基于它们的不适定性,我们提出两种正则化方法来求解。一是依托Landweber迭代正则化的思想,构造一个从问题角度出发的迭代正则化;二是将Tikhonov正则化中的单位算子进行改造,提出一个变分正则化方法。具体研究内容如下:（1）研究时间分数阶扩散波方程的源项辨识问题,包括Dirichlet边界和Neumann边界两种情形。在两个边界情形下,我们都得到了迭代正则化解和变分正则化解,以及在不同参数选取规则下正则化解与精确解之间的误差估计。最后,我们以Dirichlet边界情形为例,给出两种正则化方法的数值算例。在数值实验中,我们先给出所有定解条件,通过有限差分法求解正问题,再对正问题解的终端数据作加噪处理。加噪后的终端数据作为有测量误差的输入数据,再结合除了源项以外的其余定解条件,用两种正则化方法来辨识源项。（2）研究时间分数阶扩散波方程的初值反演问题。由于在扩散波方程（阶数α满足1<α<2）的定解条件中,带有两个初值条件,u（x,0）=φ（x）和ut（x,0）=Ψ（x）。在Dirichlet边界下,我们假设Ψ（x）已知,来反演初值φ（x）;在Neumann边界下,假设φ（x）已知,来反演初值Ψ（x）。我们同样采用迭代正则化和变分正则化来解决两个初值反演问题,得到了迭代正则化解和变分正则化解,也给出了在不同参数选取规则下的误差估计。最后,我们以在Dirichlet边界条件下反演φ（x）为例,给出两种正则化方法的数值算例。数值过程同（1）中所述类似。对于上述两种方法,我们均给出Holder型误差估计,其收敛阶数与其它正则化方法一致,但本文提出的迭代正则化是从问题出发,更为直接,变分正则化则是将Tikhonov正则化中的单位算子一般化。数值实验也验证了两种正则化方法对于解决时间分数阶扩散波方程源项辨识问题和初值反演问题的有效性。
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