在人类认识自然和改造大自然的漫长而不断的尝试过程中,物质的存在方式和运动形式是科学研究的两个永恒的、基础的又相互交织的主题,后者正如亚里士多德所言“不知运动者不知自然”①。除了广义相对论和黎曼几何外,量子物相中具有数学意义上的拓扑非平庸性的确认是物理学与数学相结合的又一重大成就②。比如,量子霍尔效应、量子反常霍尔效应和量子自旋霍尔效应等,都是对应具有非平凡拓扑结构的布洛赫纤维丛的物质量子态的典型。此外,包括拓扑鲁棒性在内,那些拓扑量子物相之间、拓扑量子物相与其他物相之间如何彼此相互作用的情况尚未完全研究透彻。因此,上述两个主题仍然值得投入持续的研究努力。在本博士论文中,作者介绍了他在博士期间的四项工作,试图扩展如下课题的知识边界:关于新的拓扑非平庸物相如何成型（在前两个工作中）以及它们的同类如何参与量子输运过程（在后两个工作中）,而量子输运是物质量子态之间相互作用的一种具体体现形式。第一部分工作的亮点在于（i）双层石墨烯体系中的可出现的高陈数量子反常霍尔效应相与极大丰富的拓扑相图,和（ii）带面内磁化的单层石墨烯体系中可以存在具有可调控性的二阶拓扑态。第一个工作从已知的带有能谷陈数（CK,CK,）=±（2,2）的量子反常霍尔效应相和带有能谷陈数（CK,CK,）=（±2,（?）2）的量子能谷霍尔效应相出发,陈数高达C=±7的新量子反常霍尔效应相被发现可以存在于考虑了层间次近邻量子跃迁的Bernal堆叠双层石墨烯体系中。这个新的拓扑相来自于由后者导致的能带三角翘曲效应引发于远离布里渊区高对称点（K和K’点）的、同时伴随陈数改变量为三（ΔC=±3）的拓扑相变。不仅如此,这样的拓扑相变还导致了带有各种能谷陈数的其他拓扑相的出现,其中一些是具有能谷极化的陈绝缘体,而另一些是则是量子能谷霍尔效应。这些发现一方面很大地丰富了在M⊥-U相空间中原有的“象限平分”拓扑相图,另一方面也表明拓扑相变并不一定只发生在布里渊区中的高对称点处。并且也可以合理地期望,这种发生在偏离高对称点的拓扑相变也可能出现在具有相同机制三角翘曲的范德瓦尔斯层状材料中,比如硅烯和过渡金属二硫族化合物。基于之前的研究工作给出的第一印象,如果体系有一个由磁化打开的体能隙且在能隙附近能带呈现出一个可能蕴含能带反转的“VW”形状,那么多半这个体系已经处于量子反常霍尔效应相之中。但是在这第二个工作中,受启发于单层石墨烯/铁酸鉍（BiFeO3）体系的第一性原理研究结果,作者使用Slater-Koster多原子轨道方法建立起的带面内磁化的单层石墨烯紧束缚模型否定了此前述经验规则。因为结果表明当面内磁化能大于子晶格电势能差M‖＞U,体系只能给出一个零陈数的体能隙。但是,这个零陈数的体能隙并不一定就是拓扑平庸的。这一论断得到了体瓦尼尔中心演化的无间隙行为和非零镜面Zak相位的双重支持。对于降低维度的对应体系,由于缺乏粒子-空穴对称性,一维锯齿边界纳米条带的拓扑边界态在体能隙窗口外打开了一个能隙,这个边界态打开能隙的位置可以通过改变边界原子的在位能调整至体能隙窗口之内。这个对边界原子在位能的改变是一个不改变体系拓扑性质的同伦变换。在这个位于体能隙窗口中的拓扑边界态能隙中,对应锯齿边界的菱形有限大体系给出两对分别简并的非零能拓扑角落态,虽然它们主要都是由pz原子轨道贡献,但是其中一对拓扑角落态主要分布在菱形的两个钝角上,而另一对拓扑角落态则分布于菱形的两个锐角上。这些结果表明,以pz原子轨道为主要贡献的石墨烯中的二阶拓扑绝缘态,可以表现为菱形有限大体系中的两对简并拓扑角落态,并且体系中由粒子-空穴非对称性带来的负面效应可以由体系外部的一种简单调控手段加以抵消。第二部分的主要内容是（i）基于石墨烯体系的低能有效连续模型,在拓扑受限的圆形陈绝缘体量子点体系中,研究了主要由手征边界态之间光激发量子跃迁贡献的动态电导率的特性行为,和在法拉第效应中的体现;和（ii）在公度可控小转角双层石墨烯体系中,研究了摩尔晶格重构促成的拓扑畴壁的形成、拓扑零线模式形成,和后者在一个典型的三交叉六端口输运器件中的量子输运性质,包括遵循赝自旋守恒的流分配律和量子化的总透射系数,以及外加磁场的影响。第三个工作基于从理论上研究了受拓扑边界条件限制的呈圆形几何构型的量子反常霍尔效应绝缘体量子点体系中的动态响应和有限尺寸效应。该工作解出了体系本征波函数和本征能量的解析的和数值的结果;接着得到了体系的以入射光能量（频率）为函数的纵向和霍尔动态电导率。其中主要贡献来自于一对手征边界态之间的光激发量子跃迁,该动态霍尔电导率的实部在体能隙内部和外部都呈现一个平台取值。这表明,无限质量边界条件把动态霍尔电导率（特别是低能区域附近）的实部平台取值从众所周知的扩展体系的半个电导量子σxy=e2/（2h）变成了有限体系的一个电导量子σxy=e2/h,尽管它们都由晶格动量线性依赖的狄拉克连续模型所描述。对于同样的圆盘体系置于介电衬底之上形成的装置,进一步研究了磁光法拉第效应。旋光偏转角作为入射光能量的函数,既表现出来自有限尺寸的涨落行为又表现出来自于介电衬底法布里-珀罗共振的振荡行为。这些研究结果详细表明了,边界条件是如何通过影响体系的电子波函数从而影响了体系的拓扑性质的。除了动态响应,作者在最后一个工作中也研究了,在转角可控的公度转角双层石墨烯体系中,可以主要存在于畴壁区域中的拓扑零线模式的量子输运性质。转角需要足够小,以使得摩尔晶格发生明显的已被实验观察到的晶格重构,进而使得AB-BA堆叠区域之间形成明锐过渡区、即形成宽度较窄的畴壁。为了实现这个目的,作者使用有限元方法,从由两个二阶耦合非线性偏微分方程组成的方程组中求解出了摩尔晶格重构的矢量面内弛豫场。晶格弛豫之后,从施加层间电势能差的一维纳米条带模型的色散关系中确认拓扑零线模式的存在。然后再通过平衡态格林函数方法,作者研究了具有畴壁三交叉六端口构型的输运装置中拓扑零线模式参与量子输运的行为。其发现是（i）电流分配到分支导电通道的规律遵循赝自旋守恒,（ⅱ）各分支通道的总透射系数给出一个量子化的信号2e2/h,和（ⅲ）外加磁场的引入会改变电流分配律,但是不会影响总透射系数,从而反映出由零线模式参与量子输运行为的拓扑鲁棒性。研究结果也表明,摩尔晶格的重构对零线模式的形成有至关重要的作用。如果不是由零线模式参与量子输运过程,就算能够得到局域于畴壁的局域态密度,其总透射系数也不再是量子化的2e2/h。合理的估计是一个θ（?）0.1°的转角对体系承载零线模式输运性质的体现是有益的。