本文主要研究了精细积分法在初边值问题中的应用。提出了两点边值问题的精细积分法、复合材料层板脱层分析的半解析精细求解方法、病态代数方程求解的精细积分法、病态矩阵求逆的精细积分法和奇异摄动两点边值问题的精细积分法以及结构动力方程求解的精细积分-FFT方法,并通过数值算例证明了上述方法的有效性。全文共分六章。　　 第一章为绪论,主要介绍了精细积分法在初边值问题中的应用现状、复合材料层板脱层分析的研究动态、病态代数方程求解方法、病态矩阵求解方法和奇异摄动边值问题求解方法的研究现状。　　 第二章首先介绍了精细积分法在初边值问题中的应用。然后将精细积分法与快速Fourier变换(FFT)相结合,得到了一种求解结构动力方程的精细积分-FFT方法。该方法发挥了快速Fourier变换与精细积分法的优点,因此精度和效率兼而有之。　　 第三章首先介绍了精细积分法在边值问题中的应用。然后提出了求解常微分方程组边值问题的一种通用方法。该方法利用传递矩阵建立区段代数方程,并针对各种边界条件,导出了区段合并消元的递推公式。由于直接利用了传递矩阵的结果,该方法几乎没有引入离散误差,具有极高的精度,而且区段合并消元过程具有很高的计算效率。另外,该方法克服了黎卡提方法不易处理复杂边界条件的限制,可适用于多种边界条件,具有广泛的适用性。　　 第四章基于精细积分思想,提出了一种有效的病态代数方程组求解方法。类似于稳态热传导方程可视为瞬态热传导方程的极限形式,将具有正定对称实系数矩阵的病态代数方程组归结为一个常微分方程组初值问题的极限形式,并在此基础上建立了病态代数方程组的精细积分解法。该方法不仅精度高,并且能以指数速度收敛,具有较高的效率。此外,将一般非奇异矩阵的求逆运算归结为一指数矩阵函数的无穷积分并给出其相应的精细积分法。在此基础上利用一个小参数对病态矩阵进行改良,将病态矩阵求逆问题转化为一个改良矩阵的求逆问题,给出了病态代数矩阵求逆的精细积分方法。该方法不仅精度和计算效率都很高,而且对于改良参数的适应性很好。　　 在第五章,将上述边值问题的精细积分法应用于一端有边界层的奇异摄动边值问题,并得到了精度极高的数值结果。这样高精度的结果是现有方法所难以达到的,这也显示出精细积分法在奇异摄动问题中的优势。　　 第六章提出了复合材料层板脱层分析的一种半解析模型及相应的精细积分法。首先沿层板面内离散,由修正Hellinger-Reissner变分原理导出各层的半解析方程。然后将各层等分为若干子层,利用相邻子层间状态量的精细积分关系式,将半解析方程转化为一组几乎无离散误差的代数方程。最后,利用各层代数方程系数矩阵的块三对角形式,建立了一种高效的递推消元方法。本文方法不仅具有极高的精度和效率,同时还能处理多种边界条件(包括脱层条件),以及能很好地克服病态的影响。　　 第七章回顾了本文的主要工作,并对以后的工作做了进一步的展望。