最优控制和镇定问题是控制理论和应用中的基本问题.对于具有时滞的确定系统或者无时滞的随机系统来说,这些问题已经被大量研究,而且已经有了完善的结果.但是,对于具有时滞的随机系统来说,最优控制和镇定问题是长期以来的基础难题,这些问题仍面临一些挑战,比如分离原理不成立,控制器的适应性,无穷维问题等等.本文研究具有时滞的离散时间随机系统的线性二次优化(LQR)和镇定问题.主要贡献及创新性如下.第一,本文考虑了单输入时滞离散时间随机系统的有限时间和无穷时间LQR问题以及镇定问题.首次证明了LQR问题的最优控制器是预估器形式,并建立Riccati-ZXL方程给出反馈增益,首次给出该系统可镇定的充要条件.另外,在求解有限时间LQR问题的过程中,建立伴随状态和状态之间关系的技巧为求解一般的具有时滞的正倒向随机差分方程(D-FBSDE)提供了新的思路.研究镇定问题的过程中,基于最优指标构造Lyapunov函数的方法,对解决其他镇定问题有很大的启发；第二,本文研究了一类控制变量中含有多时滞和乘性噪声的系统,通过Riccati类型的方程给出了该系统可镇定的充要条件.另外,首次把退化方法应用到随机系统,并打破了以往要求系统矩阵可逆的限制,使得该方法在某些系统矩阵不可逆的情况下也能实施；第三,分别考虑了多输入时滞系统和状态时滞系统的有限时间随机LQR问题.与已有文献要求控制加权矩阵正定来保证解存在唯一不同的是,本文只要求此矩阵半正定,在这个条件下,给出问题存在唯一解的充要条件.具体的研究内容和研究成果按照章节顺序包括如下几个方面：1.根本解决了单输入时滞离散时间随机系统的LQR问题和镇定问题.给出有限时间LQR问题有唯一解的充要条件,证明了最优控制器具有预估器形式,建立了Riccati-ZXL差分方程给出解析的最优反馈控制器和最优性能指标,提出了系统可镇定的充要条件.另外,本文建立伴随状态和状态之间关系的方法和基于最优性能指标构造Lyapunov函数的方法,分别为解决一般的时滞随机系统的LQR问题和镇定问题提供了新的思路.2.研究了一类控制变量里含有乘性噪声和多输入时滞的系统的镇定问题.利用退化方法,原系统转化为仅含有一个输入项的随机系统.借鉴第一部分单输入时滞离散时间随机系统镇定问题的解决办法,通过先考虑退化系统的有限时间LQR问题,再令时间长度趋于无穷,得到它镇定的条件.最后证明了原系统和退化系统的镇定问题是等价的,进而得到原系统的镇定条件.创新点在于首次建立多输入时滞离散时间随机系统镇定的充要条件,首次把退化方法推广到系统矩阵不可逆的具有时滞的随机系统.3.分别研究了具有多输入时滞和状态时滞的离散时间随机系统的有限时间LQR问题.主要方法是从极值原理出发,建立最优伴随状态和状态之间的关系.主要贡献在于基于耦合差分方程给出问题有唯一解的充要条件以及最优反馈控制器和最优指标.