量子偶是一类非常重要的Hopf代数,它由Drinfeld在研究量子Yang-Baxter方程的解时提出,所以又称为Drinfeld偶。它的研究不仅极大的推动了Hopf代数自身理论的发展,而且在理论物理,非交换几何和低维拓扑等领域也得到了成功应用。作为量子偶的特例,有限维群代数的量子偶因其结构简单,应用广泛,自然就受到了广大数学家的青睐。Cibils等在文献[13,15,35,45]中分别对其表示进行了刻画。本论文主要讨论二面体群的量子偶的模表示:给出量子偶的所有不可分解表示的矩阵形式;给出量子偶的Auslander-Reiten quiver;给出量子偶的Grothendieck群的环结构。另外,我们还讨论了量子群(U)q(sl(2))的唯一的2维单模的n重张量积分解成直和的明确公式。同时讨论了余环上余模的结构,得到一些余模范畴与模范畴等价的充分条件。我们的许多结论也可推广到更一般的情形,从而为研究一般有限群的量了偶的表示提供了思路与方法。　　 给定有限群G,Witherspoon在文献[45]中证明了域七上的群代数kG的量子偶是非半单的充分必要条件是k的特征整除G的阶。本论文前二,三,四章讨论量子偶D(kDn)的表示,其中k是特征为奇素数p的域,Dn是2n阶二面体群,且n=pst,s≥1。　　 在第二章中我们通过Dn的共轭类的代表元的中心化子子群的不可分解表示构造出量子偶D(kDn)的所有不可分解表示。于是,此章的主要工作可归结为计算Klein四元群,循环群Cn和二面体群Dn的不可分解表示。我们用导出的方法得到了这些群上的不可分解表示。　　 在第三章中,我们探讨量子偶D(kDn)的AR-quiver。我们证明了量子偶D(kG)的所有几乎可裂序列均可由G的共轭类的代表元的中心化子子群的几乎可裂序列导出。因此,本章的工作可归结为计算kCn和kDn的几乎可裂序列。幸运的是,我们证明了kCn和kDn均是Nakayama代数。这样,运用文献[3]中的方法,我们得到了D(kDn)的AR-quiver。　　 第四章的工作是描述量子偶D(kDn)的Grothendieck群的环结构。设G是有限群,M是D(kG)-模,D(N)=kG(×)kG(gc)N是单D(kG)-模,其中gc是共轭类C的代表元,N是单kCG(gc)-模,则D(N)作为M的合成因子的重数等于N=D(N)gc作为Mgc的合成因子的重数(作为kCg(gc)-模)。因此,D(kG)的Grothendieck群的环结构可通过一系列群代数的Grothendieck群的环结构来描述。我们用Brauer特征标与Grothendieck环的关系来刻画群代数的Grothendieck群的环结构。　　 在第五章中我们讨论V(1)(×)n的分解式,其中V(1)是(U)q(sl(2))的唯一的2维单模。我们首先推广了量子群(U)q(sl(2))的Grothendieck环结构,证明了标准基定理(定理5.1)。然后由此出发得到两个组合公式,它们就是V(1)(×)n直和分解的系数。同时我们还用统一的方法证明了Clebsch-Gordan公式和量子Clebsch-Gordan公式。　　 在论文的最后部分,我们讨论余环上余模范畴与环上模范畴之间的关系。由Caenepeel等人的工作[10]我们知模范畴MB和余模范畴MC之间存在一对伴随函子(F,G),其中环B余环C具有某种关系。此章的主要工作就是讨论(F,G)何时成为一对互逆的等价函子。利用可裂叉和余可分余环的性质,我们给出了(F,G)成为互逆函子的条件,从而推广了Caenepeel等人的工作。