【摘 要】
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本文着重于研究度量空间中分形集的大交性和连分数系统中关联run-length函数的渐近增长性。论文的主体分为两个部分。在第一部分,我们将Falconer等人关于大交集类的概念从欧氏空间拓展到一般的度量空间,并证明满足定义的大交集类中的集合（也称为大交集）对可数交运算封闭,从而说明大交集的可数交集的Hausdorff维数不会下降。另外,我们证明了度量空间上一类由矩形生成的上极限集是具有大交性的。在第
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本文着重于研究度量空间中分形集的大交性和连分数系统中关联run-length函数的渐近增长性。论文的主体分为两个部分。在第一部分,我们将Falconer等人关于大交集类的概念从欧氏空间拓展到一般的度量空间,并证明满足定义的大交集类中的集合（也称为大交集）对可数交运算封闭,从而说明大交集的可数交集的Hausdorff维数不会下降。另外,我们证明了度量空间上一类由矩形生成的上极限集是具有大交性的。在第二部分,对任意固定的无理数x∈[0,1),记连分数系统中x的关联 run-length 函数为Rx（y,n）=max{k≥0:ai+1（y）=a1（x）,…,ai+k（y）=ak（x）,0 ≤ i ≤ n-k},其中ai（z）表示z的连分数展式的第i个部分商。我们从Lebesgue测度和Hausdorff维数的角度量化研究了关联run-length函数Rx（y,n）满足确定的渐近增长性的点集的大小。全文共分为六个章节,前两章将介绍研究问题的相关背景及基础知识。在第三章中,我们在紧致度量空间上给出大交集类的定义,并证明满足定义的集类对于可数交运算封闭且属于集类的所有集合都有一个一致的Hausdorff维数下界。在第四章中,我们证明了在Hausdorff测度满测的条件下,由度量空间中的一列矩形生成的上极限集具有大交性。该结果可以直接应用于高维丢番图逼近和一些分形上的丢番图逼近问题的研究中。在第五章中,对任意无理数x∈[0,1),我们证明了关于关联run-length函数Rx（y,n）的渐近增长性的大数定律,并确定了相应例外集的Hausdorff维数。在最后一章中,我们将本文的主要结果进行了总结,并提出了可以进一步研究的问题。
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