论文部分内容阅读
本文主要研究关于超曲面补空间Alexander类不变量的可除性定理.假设多项式f:Cn+1→ C在无穷远处处在一般位置.记F0=f-1(0),(?)= Cn+1\F0在第二三章中我们研究超曲面补空间u和它的边界流形上经典Alexander型不变量,特别是关于此类不变量的可除性定理.在第二章中,我们用关于f的Sabbah specialization complex来实现超曲面补空间的Alexander模.Sabbah specialization complex与nearby cycles有着非常紧密的联系.而nearby cycles本身可以看作是一个非常好的局部奇点信息的聚合体：nearby cycles在每一个奇点的茎同构于f在此奇点的Milnor纤维的上同调群.所以,这个新的方法揭示了超曲面补空间的Alexander模与超曲面F0上奇点的关系,从而得到一个新的可除性定理.更进一步,考虑到nearby cycle是mixed Hodge module范畴理论中的一个非常重要的组成部分(nearby cycle functor可以提升为mixed Hodge module范畴中的函子),所以我们可以利用nearby cycles来得到超曲面补空间上扭Alexander模的混合Hodge结构.在第三章中,我们将Cogolludo-Florens关于超曲面补空间Alexander多项式的等式推广到非孤立奇点情况.我们的主要工具是关于f的Cappell-Shaneson peripheral complex实际上,我们给出了peripheral complex一个新的刻画,并从此刻画出发得到超曲面补空间Alexander多项式的一些误差估计.更进一步,通过研究Alexander多项式与Reidemeister torsion之间的关系,我们得到关于整体Alexander多项式与局部Alexander多项式的一个等式,其中包含Reidemeister torsion相交形式的行列式.我们对peripheral complex的新刻画同时可以说明peripheral complex可以看作是mixed Hodge module.另一方面,我们证明超曲面补空间边界流形的经典Alexander模可以用peripheral complex来实现,从而得出此Alexander模为扭模,并借此构造其上的混合Hodge结构.任取CPn+1中超曲面V,记M*=CPn+1\V.在第四章中,我们给出关于M*的整体Alexander varieties与characteristic varieties的可除性定理.更为准确地说,我们证明整体characteristic varieties (除最高阶i=n+1外)包含在V任意一个不可约分支上所有点局部characteristic varieties的并集中.注意此可除性定理对超曲面V本身没有任何要求(对比前两章关于u经典Alexander模的研究,我们总是假设f在无穷远处处在一般位置).作为应用,我们不仅能够重新证明许多已知的关于经典Alexander模的结论,也可以得到其它情况下新的结论,比如本质超平面配置.更近一步,利用Suciu定义的locally straight space,我们将关于Alexander varieties与characteristic varieties的可除性定理推广到esonance varieties上.