非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Splines,简称NURBS)方法是曲线曲面表示中最为重要的数学方法,也是计算几何、计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,简称 CAGD)、计算机辅助设计(Computer Aided Design,简称 CAD)、几何造型与相关学科研究的核心内容之一,经典的有理Bezier曲线曲面与B样条曲线曲面是其特殊形式.由于对形状控制有重要意义,权因子的几何性质一直以来都是NURBS曲线曲面研究的重要内容之一.当一个权因子趋于无穷大时,NURBS曲线曲面趋向于相应的控制顶点,这就是众所周知的NURBS曲线曲面单个权因子的几何意义.Toric曲面是一类与有限整数格点集相关的多边形有理参数曲面,它的理论来源于代数几何与组合学,而且其基函数是Bernstein基的推广,经典的有理Bezier曲线曲面是toric曲面的特殊形式.目前,toric曲面的几何性质也是研究热点之一.Garcia-Puente等人指出,当所有权因子都趋于无穷大时,toric曲面的极限曲面即为其正则控制曲面.作为此结论的推广形式,Zhang和Zhu指出当所有的权因子都趋于无穷大时,NURBS曲线曲面也趋向于它们相应的正则控制曲线曲面.正则控制曲面是一类分片的C0连续曲面,且是由有限整数格点集的正则分解决定的.因此,不同的正则分解诱导了不同的正则控制曲面.那么很自然的问题是:同一个toric曲面究竟有多少个正则控制曲面?同一个NURBS曲线曲面究竟有多少个正则控制曲线曲面?针对如上问题,本文利用组合学中的secondary多面体理论,首先给出了 toric曲面的正则控制曲面个数的计算算法.其次,利用组合学中的state多面体和整数规划理论给出了正则控制曲面的构造公式和另一种个数计算算法.最后,我们将此方法推广,结合NURBS曲线曲面的toric退化理论,给出NURBS曲线的正则控制曲线个数上界公式和一类特殊双二次NURBS曲面的正则控制曲面个数上界公式.所得结论补充了曲线曲面的几何性质,对几何造型应用研究提供了理论支持.第一章绪论简单介绍了参数曲线曲面的发展历史,包括有理Bezier方法、NURBS方法的发展与研究现状,阐述了 toric曲面的理论背景、发展及其在几何造型中的相关应用.第二章介绍了 toric曲面与NURBS曲线曲面的定义和权因子的几何性质.详细阐述了 toric退化理论,即当所有权因子都趋于无穷大时,toric曲面的极限曲面为其正则控制曲面.第三章主要研究了有限整数格点集的正则分解个数,提出了正则分解与secondary多面体的对应关系.指出由有限整数格点集定义的toric曲面的正则控制曲面个数等于此有限整数格点集的正则分解个数,并给出了计算正则控制曲面个数的算法.在第四章中,利用整数规划方法,指出有限整数格点集的正则分解形式以及个数与state多面体的对应关系,从而得到正则控制曲面的构造方法与另一种个数计算算法.第五章借助NURBS曲线曲面的toric退化理论,将以上结论推广,研究NURBS曲线曲面的正则控制曲线曲面个数问题,并给出了相应的个数上界公式.第六章总结全文并对下一步工作进行展望.