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椭圆型偏微分方程边值问题主要应用于流体力学和固体力学中，它的数值方法主要集中在有限元、边界元、差分法等，这些方法都是高效的现代计算方法，然而在其误差分析中发现其主要误差来源于区域积分项。而对于求解边界变分不等式和椭圆型方程边值问题时，使用MRM-BEM方法比经典的边界元方法具有更大的优越性和可行性，它通过使用高阶基本解和重复替换，变区域积分到一个收敛无穷级数的积分方程，然后在结合边界单元方法进行求解，在数值计算中避免了对区域的离散。 论文共分5章。第一章主要概述了边界元法、变分不等式和MRM-BEM求解椭圆型偏微分方程边值问题的研究进展和现状。 第二章针对所研究椭圆型偏微分方程边值问题，给出特定的研究空间，即Sobolev空间框架，并介绍了在这样的空间中建立的一整套理论，如：广义解，广义函数，广义导数，迹定理和Brezzi理论，等价模定理等。 第三章在变分形式框架下介绍了几个典型的椭圆型偏微分方程边值问题，通过具体实例说明它的一些基本性质。 第四章以服从Coulomb定律的弹性体接触的静态摩擦问题为背景，建立与其相应的数学模型，通过MRM-BEM方法推出与之等价的齐次和非齐次Helmholtz边值问题的MRM-积分方程，并对变分不等式中的不可微项进行处理，将其转换成近似MRM-边界变分不等式，说明近似解和精确解的收敛性，最终将原问题化解成为一个标准凸极值问题。 第五章采用了多重互易法和边界元法相结合的方法求解屈曲特征值问题，得到了MRM-边界积分方程和MRM-边界变分方程，给出误差估计表达式。并且通过数值算例说明了该方法用于此类问题的收敛速度快，计算精度高的特点。