近年来,低秩矩阵恢复的理论及应用得到了许多学者的关注,并在数据分析、图像处理等方面取得了显著的效果。如何精确地恢复出隐藏在高维数据中的低秩结构是利用低秩矩阵恢复解决各个领域中问题的关键。而低秩矩阵的恢复主要依赖于对矩阵的低秩约束,由于秩函数是离散函数,从而导致最小化秩的模型是NP难问题,虽然现有的模型中采用了核范数这一秩函数的最小凸包络作为凸的秩近似函数已取得了一些效果,然而在很多实际应用中却已显现出它不能很好地近似矩阵秩的缺陷。本文以构造低秩矩阵的更精确的非凸秩近似函数为出发点,针对不同领域中的图像处理问题分别提出了相应的基于非凸秩近似的优化模型,并采用了相关算法进行求解,主要工作概括如下:1.概述了低秩矩阵恢复理论的发展状况,分析了现有低秩矩阵恢复模型中采用核范数作为低秩矩阵的秩近似函数的缺点,针对核范数不是秩函数的精确近似的问题,给出构造秩函数的非凸近似函数的原则,并提出基于非凸秩近似的低秩矩阵恢复模型框架。2.针对医学图像处理中的动态核磁共振图像重建问题,利用两个非凸秩近似函数,Gamma范数和Laplace范数,代替现有低秩矩阵恢复模型中的核范数,建立了基于非凸秩近似的核磁共振图像重建模型。证明了这两个非凸秩近似函数具有一些令人满意的性质,它们比核范数更为精确地近似低秩矩阵的秩。对原始模型进行松弛处理后变为无约束问题,交替求解各个子问题。收敛性分析证明了算法可以得到原问题的局部极小点。对于心脏灌输和心脏电影数据的图像重建的实验结果表明,由于采用了更精确的秩近似,可以更快速、更准确地恢复出数据中的低秩矩阵部分,同时,分解出的稀疏矩阵部分也更加完整,而稀疏矩阵部分对应于病灶,所以利用本文算法有助于更快速、更清晰地看出图像中的病灶部位。3.针对高光谱图像去噪问题,在现有低秩矩阵恢复模型中使用对数行列式函数作为低秩矩阵的非凸秩近似函数,同时还对低秩矩阵使用了矩阵分解,建立了基于非凸秩近似和矩阵分解的高光谱图像去噪模型。更精确的非凸秩近似提高了算法的精确度,得到了更好的低秩矩阵恢复效果,而矩阵分解则大大简化了矩阵的奇异值分解计算,从而降低了计算复杂度,提高了算法的效率。利用增广拉格朗日乘子法并交替更新各个变量,得到各个子问题的最优解。模拟实验和真实实验均表明本文方法比现行方法去噪效果更优,特别是由于本文提出的模型中采用了更精确的秩近似函数,使得从原始数据中恢复出的低秩矩阵部分更加准确,由于低秩矩阵部分对应于干净的数据,也就意味着可以更为有效地去除数据中的噪声。一个显著的效果就是本文提出的算法对于去除静线和条纹噪声的效果尤为突出,明显超过了现有其它方法。4.针对人脸识别和运动分割这两类图像识别问题,利用子空间聚类方法,在基于低秩表示的子空间聚类模型中使用了基于指数函数和高斯分布函数的两种新的非凸秩近似函数,建立了基于非凸秩近似的子空间聚类模型。这两种非凸秩近似函数比核范数更精确地近似秩函数,特别是当存在大的奇异值的时候优势更为明显。通过将所提出的非凸秩近似融合于基于低秩表示的模型中,有助于找到更清晰地展现数据潜在结构的低秩表示矩阵。采用增广拉格朗日乘子法求解转化后的模型,利用求得的系数矩阵构造仿射矩阵,最终用于子空间聚类。而这个系数矩阵就是上述的低秩表示矩阵,寻找它的过程就是对数据进行低秩矩阵恢复的过程。由于采用了更为精确的秩近似,使得恢复出的低秩矩阵更加精确,有利于后续进行聚类。实验结果表明本文方法的有效性,并且与其它现行的基于谱聚类的子空间聚类方法相比,在各项指标上均具有优势,特别是对于多对象的人脸聚类问题聚类错误率更低,显示出本文方法的鲁棒性。