非线性偏微分方程的求解一直以来都是一个难题，而逆散射变换是求解一大类非线性偏微分方程的有效方法之一。其基本思路就是利用非线性偏微分方程的Lax对和常微分方程的谱理论，把非线性问题转化为线性问题给以解决。延拓结构理论是迄今为止较为成功的一种求方程Lax对的系统方法，其基本思想就是从原始的非线性演化方程出发，来求得方程的Lax对，进而验证方程的可积性、用逆散射交换方法对方程求解。 本论文就是建立、完善半离散的延拓结构理论，以及利用该理论求出半离散的Sine-Gordon方程的Lax对。 在第一章中，介绍一下孤立子理论的由来和孤立子理论问题的研究。在第二章中，介绍逆散射变换和Lax方程。第三章中，建立并完善1+1维半离散的延拓结构理论。在第四章中，我们利用上一章中的理论讨论了1+1维的半离散Sine-Gordon方程，并求得它的Lax对。