【摘 要】
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波动方程属于发展方程的一种,它描述了诸多自然学科中系统随着时间变化的过程。在物理学、生物学和生态学等诸多科学领域内提出了大量的非线性数学问题,这些问题在数学模型中往往是通过建立一些非线性抛物方程和非线性波动方程等非线性发展方程来研究的。方程中不同的非线性项都有可能导致方程的解产生奇性:如解在有限时间内的爆破（blow-up）、波的破裂（wave-breaking）、淬灭（quenching）、熄灭
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波动方程属于发展方程的一种,它描述了诸多自然学科中系统随着时间变化的过程。在物理学、生物学和生态学等诸多科学领域内提出了大量的非线性数学问题,这些问题在数学模型中往往是通过建立一些非线性抛物方程和非线性波动方程等非线性发展方程来研究的。方程中不同的非线性项都有可能导致方程的解产生奇性:如解在有限时间内的爆破（blow-up）、波的破裂（wave-breaking）、淬灭（quenching）、熄灭（extinction）等现象的发生。当初值比无穷远处的孤立波衰减得更快时,就会出现波的破裂现象。因此,本文提供三种不同的方法来研究弱耗散的浅水波方程解的波的破裂现象,从而丰富了这个方程的信息。此外,还给出了该解在加权Lp-空间中的持久性结果。最后,给出了 CH-mCH-Novikov方程的爆破准则。本文主要研究内容如下:（ⅰ）用三种方法研究了弱耗散浅水波方程的波的破裂现象。由于弱耗散项的存在,方程失去了守恒定律E=∫R u2+ux2dx。这个难题已经通过建立能量不等式得到解决。前两种方法的主要思想是构造Riccati-型微分不等式来证明方程的解在有限时间内爆破。最后一种方法依赖于两个李雅普诺夫函数族的引入。（ⅱ）研究了在加权-Lp空间中弱耗散浅水波方程解的持久性。首先介绍了一些研究持久性的预备知识,然后证明了初值持续衰减时,方程的解也是持续衰减的。（ⅲ）研究了 CH-mCH-Novikov方程的爆破准则。主要研究方法是,在Hs空间中运用Gronwall不等式、1-D Moser-型估计和输运方程理论通过对指数s进行归纳而得出方程的爆破准则。
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