【摘 要】
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分形维数的计算一直是分形几何中基本而又重要的问题之一.最新的一种分形维数是由Balka等人在2015年引入的拓扑Hausdorff维数(dimtH).这种维数是利用空间的拓扑基的边界的Hausdorff维数来定义的,是拓扑维数（dimt）和Hausdorff维数（dimH）的一种自然组合.本论文主要研究了一类称为分形方块的平面分形的拓扑Hausdorff维数的计算问题,并将计算结果应用于分形方块的
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分形维数的计算一直是分形几何中基本而又重要的问题之一.最新的一种分形维数是由Balka等人在2015年引入的拓扑Hausdorff维数(dimtH).这种维数是利用空间的拓扑基的边界的Hausdorff维数来定义的,是拓扑维数（dimt）和Hausdorff维数（dimH）的一种自然组合.本论文主要研究了一类称为分形方块的平面分形的拓扑Hausdorff维数的计算问题,并将计算结果应用于分形方块的Lipschitz等价分类.对分形方块F而言,其Hausdorff维数,盒维数,Packing维数,Assouad维数都相同,但是它的拓扑Hausdorff维数通常与这些维数不相等,从而是一个新的重要的Lipschitz不变量.在估计dimtH F的下界时,我们的方法是寻找F的梳状子集.平面上的一个集合E称为梳状集,如果它在一个线性变换的作用下可以变成X ×[0,1]的形式.Balka等人证明了对F中任意的梳状集E都有dimtH F≥dimH E.本论文利用F的周期延拓H=F+Z2来构造其梳状子集,并用H中所有斜率为τ的直线与y轴的交点构成的集合Ωτ的Hausdorff维数给出dimtH的下界估计.我们还证明了Ωτ具有自相似结构,从而可以很容易地计算出其Hausdorff维数.特别地,当τ=0或∞时,dimHΩτ可由D中横条数κh和竖条数κv确定.对于dimtH F的上界估计,我们通过自相似曲线构造的拓扑基来完成.我们称连接曲线γ:[0,1]→R2的起点γ（0）和终点γ（1）的直线的斜率τ为曲线的斜率.用两组斜率分别相同的曲线围成的四边形我们称为曲边平行四边形.选择恰当的曲线使得分形方块F包含在对应的曲边平行四边形的内部,然后利用这个曲边平行四边形的相似像来构造F的拓扑基.这个曲边平行四边形起到了通常拓扑中“单位圆”的作用.为了得到自相似曲线,我们引入了带柄的迭代函数系并研究了带柄的迭代函数系的不变集K的连通性.本论文通过构造带柄的迭代函数系的Hata图证明如果K的Hata图连通,则K连通.接着,由Whyburn引入的链连通（well-chained）性质以及S性质我们进一步证明了如果K连通则一定局部连通;最后由Hahn-Mazurkiewicz定理得到如果K连通且局部连通则一定弧连通,即K是一个包含了所需曲线的Peano连续统.为了得到足够好的上界,我们希望用来构造拓扑基的曲线满足与H的交集的Hausdorff维数尽可能的小.本论文首先考虑了竖直（水平）曲线的构造:（1）构造一个与D有关的竖向图;（2）找出这个图从上到下的最短路径;（3）利用这个路径,构造一个带柄的迭代函数系,这个带柄的迭代函数系的不变集恰好是一个Peano连续统,为我们提供了一条竖直曲线γv.类似地,我们可以得到一个横向图和一条水平曲线.这样,我们就可以用这些曲线构造出F的一个拓扑基.接着,我们通过利用已经构造好的水平曲线来构造竖直曲线（或者反过来）这种方式改进F的拓扑基的构造方法,得到dimtH F一个较好的上界估计.最后,我们考虑了任意方向的周期曲线ζ:[0,1]→R2.称曲线ζ是周期的是指ζ满足(（1）—ζ（0）∈Z2\{0}.仍然利用带柄的迭代函数系,我们证明了任意给定一条周期曲线ζ总可以在ζ上构造一条竖直曲线γv使得集合dimH（βv ∩H）总可以被dimH（ζ∩H）和dimiH Ωτ控制.如何构造任意方向上的“好”的周期曲线,将是我们未来要研究的一个问题,这里“好”指的是曲线与H的交集的Hausdorff维数小.
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