【摘 要】
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随着现代信息技术的飞速发展,高维图像与视频在当今大数据时代扮演着越来越重要的角色,如核磁共振图像、CT图像是疾病诊断的必需工具.数学上,数字图像和视频通常用张量表示,张量作为向量和矩阵向更高维度的扩展,能够充分利用数据的多维结构,成为图像处理、计算机视觉等领域常用的数据表示方法.然而,图像和视频等信息在实际获取以及传输中经常面临数据缺失、复杂噪声污染等问题,如何对存在缺失以及受到噪声污染的高维数据
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随着现代信息技术的飞速发展,高维图像与视频在当今大数据时代扮演着越来越重要的角色,如核磁共振图像、CT图像是疾病诊断的必需工具.数学上,数字图像和视频通常用张量表示,张量作为向量和矩阵向更高维度的扩展,能够充分利用数据的多维结构,成为图像处理、计算机视觉等领域常用的数据表示方法.然而,图像和视频等信息在实际获取以及传输中经常面临数据缺失、复杂噪声污染等问题,如何对存在缺失以及受到噪声污染的高维数据进行高精度地恢复是一个重要的研究课题.高维数据的内部往往具有一定的相关性和冗余度,因此实际应用中的数据大多数具有低秩结构.在二维情形下,利用矩阵的低秩性已在矩阵恢复中取得了成功的应用.近年来,基于离散傅里叶变换的张量奇异值分解在低秩张量恢复上取得了良好的成果.本文以图像和视频数据为背景,主要研究在测量被泊松噪声污染情形下低秩张量恢复和填充的模型与理论.论文共分为五章,主要内容如下:第一章主要论述本文的研究背景及意义,张量恢复的发展历史及研究现状,并总结本文的主要工作.第二章概述论文所用的基本概念与相关理论基础.包括:张量代数的基础知识与记号、离散傅里叶变换、概率不等式、KL-散度与Hellinger距离的定义等.第三章研究泊松噪声下张量的填充问题.在这一章,首先根据观测模型建立惩罚对数似然的约束优化问题;然后利用复数域上随机矩阵范数的期望的相关结论、概率不等式、KL-散度与Hellinger距离之间的关系,推导重构误差上界;最后利用Fano不等式等技巧给出重构误差的信息理论下界.第四章研究泊松噪声下张量的恢复问题.首先构造物理上可实现的测量算子,证明该测量算子具有类似于RIP的性质;其次,推导张量的覆盖数;最后,基于此覆盖数以及信息论中有关定理,我们导出低tubal秩张量的恢复误差上界.第五章研究泊松噪声下张量填充与恢复的算法.基于论文中建立的新模型设计一个高效的求解算法,即tensor-PMLSVT算法,并分析算法的收敛性.同时,分别通过实验模拟与真实彩色图像验证算法具有良好的恢复性能.
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