令n是满足某些局部同余条件的充分大的整数,κ是一个正整数.Waring-Goldbach问题主要研究将整数n表示为素数的方幂之和,即n = p1κ + p2κ + …+psκ,(0.1)其中p1…,ps表示素数.如果取κ= 1,s = 2,则上面的问题就是至今尚未得到解决的Goldbach猜想(偶数Goldbach猜想),也就可以认为Waring-Goldbach问题是Goldbach问题的非线性推广.关于Waring-Goldbach问题的线性情形,Vinogradov[44]在1937年证明了当s ≥ 3时,对于每一个充分大的奇数n,方程(0.1)都存在奇素数解,这被称作著名的三素数定理.2013年,Helfgott[9,10]证明了当s≥3时,对所有大于等于9的奇数n,方程(0.1)都存在奇素数解,完全解决了奇数Goldbach猜想.关于Waring-Goldbach问题的非线性情形,1938年华罗庚在[11]首先证明了当s≥2κ+ 1时,方程(0.1)对所有的κ≥1都存在素数解,并在[12]中进行了系统地总结.该结果在κ ≤ 3时仍然是最好的结果.对于≥ 4的情形,许多学者改进了这一结果(参见[15,16,18,19,39,40,42,49]).数论领域另外一个非常有意义的问题是变量几乎相等的Waring-Goldbach 问题.接下来,我们 对这一 问题进 行详细 地说明.首先,我们令τ=τ(κ p)为满足pτ|κ的最大的整数,同时定义(?)(?)(?)其他.将整数n限制在同余类(?)中,我们来研究方程(0.1)解的情况.给定一个充分大的整数n ∈Hk,s,变量几乎相等的Waring-Goldbach问题主要研究方程(0.1)是否存在满足关于变量几乎相等的Waring-Goldbach问题,对于k= 2,s = 5时的情形有很多的结果(参见[2,3,4,17,24,25,26,27,29,30,35]).特别地,1996年,刘建亚和展涛[25]最先考虑这一问题.2012年,Kumchev和李太玉[17]得到关于该问题目前最好的结果:对任意固定的θ>8/9,方程(0.1)存在满足(0.2)的素数解,此时(0.2)中的H = nθ/2.同时他们最先得到变量个数多于五个的几乎相等的素数的平方和的结果,其中多余的变量是用来减小可允许的H的大小.记H= nθ/k.令θk,s表示方程(0.1)对充分大的,n∈Hk,s,存在满足(0.2)的素数解的θ的最小值.Kumchev和李太玉[17]证明了当s ≥ 17时,θ2,s ≤ 19/24.2014年,魏斌和Wooley[45]将s的下界改进到s ≥ 7;同时他们还得到了更高次的结果:当s＞2k(k-1)时,2016年,黄炳荣[13]证明了对所有的k≥ 3和s>2k(k-1),均有θk,s ≤ 19/24,进一步改进了魏斌和Wooley[45]的结果.本文主要利用Harman筛法突破主区间对θ的限制,相比之前扩大了θ的取值范围,在一定程度上可以说做到了目前最好的结果.同时我们也利用了Bourgain,Demeter和Guth[5]的最新结果,改进了当k≥4时s的下界.我们进一步改进了黄炳荣[13]的结果.本文的主要结果如下:定理1 令k ≥ 2,s≥k2+k+1和θ>31/40.则对于每一个充分大的整数n ∈ Hk,s,方程(0.1)存在满足(0.2)的素数解p1,…,,Ps.Waring-Goldbach问题的例外集问题也是数论领域的一个重要问题,读者可以参考文章[17,28,31,38]来详细地了解关于这一问题的发展过程.在同一篇文章中,魏斌和Wooley[45]还得到了关于方程(0.1)对"几乎所有"的n的可解性和关于六个几乎相等的素数平方和的例外集两个问题的结果.黄炳荣[13]改进了前一个问题的结果.不难看出,根据定理1的证明和文章[45,§9]中的方法,我们可以进一步改进上述两个问题的结果.我们有下面两个结果:定理2 令κ≥2,s ＞κ(κ+ 1)/2,θ>31/40和N→ ∞.则存在一个固定的δ>0,使得除去O(N1-δ)个以外,几乎对所有的整数n≤ N且n ∈Hκ,s 方程(0.1)存在有满足(0.2)的素数解p1,…,ps(当κ=3,s= 7时,9(?)n).令E6(N;H)表示满足以下条件的整数n的个数:a.|n-N|≤ HN1/2,b.n = 6(mod 24),c.取= 2,s = 6,方程(0.1)不存在满足(0.2)的素数解内,….,Ps.定理3 令θ>31/40和N →∞.则存在一个固定的δ>0使得E6(N;Nθ/2)<<N(1-θ)/2-δ.