在数论中,不定方程极具特点，引起无数的数学爱好者关注和研究.它不仅自身发展的势头强劲，而且较为普遍的应用于经济学、离散数学、物理学等各个领域.我们所共识：存在大量待需解决但又特别困难的现实和理论问题可能落到某些不定方程的求解上来．因此，国内外很多学者从广度和深度对其进行研究．关于不定方程x²C Byn的有理整数解是数论中的一类重要问题．当C=1，B=1时，Lebesgue1证明了该方程无有理整数解．在1842年， Catalan猜想：x^m-yⁿ=1（x, y,m,n∈Z,x, y,m,n＞1）仅有解3²-2³=此问题在1962年被柯召2彻底解决．本文主要利用了Pell方程相关性质、初等方法、数论和同余等方法，对方程X²+K=Yn进行了以下三个方面研究.一、讨论了不定方程x²±1=ky³，其中k=3,4,及k e21e Z和x²k²y³，其中k=p=1m od4k=e21,e Z、k=p3m od4的有理整数解的情况：（1）方程x²+1=3y³无有理整数解；（2）不定方程x²-1=3y³仅有有理整数解1,0、2,1和5,2；（3）方程x²+1=4y³无有理整数解；（4）方程x²+1=ky³仅有有理整数解x=e, y=1；（5）方程x²+k²=y³，当k=（e²+1）时有理整数解为x=e^3+e,y=（e²+1）；（6）方程x²+k²=y³，当k=p=3（mod4）时有理整数解的情况.二、讨论了不定方程x²±p+y³（p-5,±13,17）和x²+9=y⁵的有理整数解的情况（1）方程x²-5=y³仅有有理整数解（±2,-1）；（2）方程x²-13=y³无有理整数解；（3）方程x²+13=y³仅有有理整数解（±70,17）；（4）方程x²+17=y³无有理整数解；（5）方程x²+9=y⁵无有理整数解.三、讨论了不定方程x²+4=yⁿ有理整数解的情况（1）方程x²+4=yⁿ，当n≥4且为偶数，无有理整数解；（2）方程x²+4=y⁹无有理整数解；（3）方程x²+4=y¹¹无有理整数解.