【摘 要】
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本文的主体结构分为五个部分,考虑了五个孤子方程的可积离散化.第一章概述孤子理论的发展情况.第二章则是讲述本文中所需运用到的一些基本概念,重要公式以及相关的性质,如Hirota算子和双曲算子等.第三章则给出著名的KdV方程和修正KdV方程的可积离散化过程,首先根据有理变化将上述方程转化为相应的连续意义下的双线性导数方程或方程组,接着用双曲算子对之前得到的方程进行替换,得到离散化的双线性导数方程组,然
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本文的主体结构分为五个部分,考虑了五个孤子方程的可积离散化.第一章概述孤子理论的发展情况.第二章则是讲述本文中所需运用到的一些基本概念,重要公式以及相关的性质,如Hirota算子和双曲算子等.第三章则给出著名的KdV方程和修正KdV方程的可积离散化过程,首先根据有理变化将上述方程转化为相应的连续意义下的双线性导数方程或方程组,接着用双曲算子对之前得到的方程进行替换,得到离散化的双线性导数方程组,然后采用Hirota小参数扰动方法,求解其孤子解.通过三孤子解或N孤子解来印证这种离散化方法的可积性.最后给出上述离散化的双线性方程与一些知名的离散方程,如Volterra-Lotka方程、Toda晶格链方程、自对偶网格方程等方程的相互推导,并对其中的自对偶网格方程进行Adomian方法分解,得到数值分析上的意义,同时对KdV方程做对数变换的情况也进行了可积离散化的考虑.第四章则类似与第三章,对另外两个方程进行可积离散化.首先考虑聚焦情形的非线性Schrodinger方程的离散化,并给出了离散化的Schrodinger方程以及上一章中得到的离散化mKdV方程与离散形式的Hirota方程的相互关系.接着考虑AKNS方程的可积离散化,首先给出了AKNS方程族的谱问题和时间发展式以及AKNS族的递推形式,并指出该方程族中的两个重要方程,二阶和三阶AKNS方程,在对这两个方程进行可积离散化的同时也分别给出其相容性条件,然后采用Hirota方法求解其孤子解,来说明可积性.第五章则是对本文的一些总结和展望以及这种方法的可行性的讨论.
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