对矩阵凸函数的研究是从两方面着手的,一方面是函数本身,另一方面是通过矩阵不等式来构造矩阵凸函数。前一方面的开创者是Kraus,他在1936年发表的文章中把函数的矩阵凸性问题等价的转化为一个由该函数的差分构成的对称矩阵的半正定性问题。在矩阵阶数低的时候,利用这个结果判断一个函数的矩阵凸性是十分有效的,但当阶数变大时,计算高阶差分本身就是十分复杂的事情。于是Hansen改进了Kraus的结果,把判断由差分构成的矩阵的半正定性变为判断由导数构成的矩阵的正定性。这个结果大大方便了判断一个函数是否具有矩阵凸性。本文正是利用它研究了多项式函数次数与矩阵阶数之间的关系:一个多项式函数是n?凸的,那么它的次数不小于2n。还结合一个差分不等式,讨论了2?凸函数的性质,丰富了判断函数2?凸的手段。矩阵不等式的内容相当丰富,与其他数学分支的联系十分广泛,但与函数的矩阵凸性有关的是Hermite矩阵不等式。Loewner和Kwong在这方面作了大量的工作,他们的研究结果主要对矩阵的p次方幂取得的( p是正数),还无法构造矩阵凸函数。Bhagwat和Subramanian把AM-HM不等式推广到了矩阵形式,这对于矩阵凸函数的研究有很大帮助。本文利用矩阵单调函数的性质,重新证明了这个不等式的矩阵形式,并且讨论了等号成立的条件。在函数连续的情况下,矩阵凸性与弱凸性等价,从而反比例函数具有矩阵凸性。