不定方程不仅自身发展异常活跃，而且广泛应用于离散数学的各个领域。它对人们学习研究和解决实际问题有着重要作用。因此，国内外有不少学者对不定方程进行了广泛深入的研究。对于不定方程X~3+M~3=DY~2(M,D N)已有不少学者对其进行了研究，其中讨论最多的是当M=1，D能被6k+1型素数整数时该方程的整数解情况。但是，由于不定方程求解的困难性，这类不定方程的求解问题还有广阔的研究空间。本文主要应用了简单同余法、Pell方程法、二次剩余法、递归序列法等一些初等方法讨论了不定方程X~3+M~3=Dy~2当(M, D)=(-13,14),(3,61),(3, p),(±3,21),(-2,217),(2,111),(2,183)的整数解情况：(1)证明了不定方程X~3-133=14y~2仅有整数解(x,y)=(13,0),(117,±338).(2)证明了不定方程X~3+27=61y~2仅有整数解(x,y)=(-3,0)，不定方程X~3+27=py~2（p是大于零的奇素数且p o1(mod12)）只有当3|x时才有整数解。(3)证明了不定方程X~3+27=21y~2仅有整数解(x, y)=(-3,0),(9,6),不定方程X~3-27=21y~2仅有整数解(x, y)=(3,0),(6,北3),(12,9),(66,117).(4)证明了不定方程X~3-8=217y~2仅有整数解(x, y)=(2,0),(50,24).(5)证明了不定方程X~3+8=111y~2无适合(x, y)=1的整数解。(6)证明了不定方程X~3+8=183y~2无适合(x, y)=1的整数解。