自从拓扑材料的发现以来,人们对量子体系的拓扑性质的研究就有着极大的兴趣。对于零温时体系基态的拓扑性质已经有了深刻而系统的研究,如拓扑超导体、拓扑绝缘体,反常量子霍尔效应和玻色系统等。但真实的物理系统无法完全与环境孤立开来,不可避免地存在热交换。此时,不仅仅是基态,所有的本征态都会影响体系的物理性质。由于体系处于混合态,必须要用密度矩阵来描述量子体系。我们想要研究有限温度下量子体系的拓扑性质,希望将纯态的拓扑不变量推广到混合态。几何相位,即Berry相位,在量子体系拓扑性质的研究中有非常重要的地位。而近些年,实验上观测几何相位的实现,使得从纯态拓扑性质的研究扩展到混合态成为可能。现在研究的是混合态,需要在数学上重新定义一个几何相位。本文首先介绍德国数学家Uhlmann如何构造建立在密度矩阵上的联络,被称为Uhlmann联络。在此基础上,有科研工作者定义了所谓的Uhlmann相位,在若干一维拓扑绝缘体和拓扑超导体的模型中得到了量子化的结果,为研究体系在有限温度下的拓扑性质提供了一种方法。他们还将研究工作拓展到了有限温度下的二维量子体系,得到了他们称之为Uhlmann数的物理量,并认为是拓扑不变的。本文还介绍了其他科研工作者的工作。比如,有工作对第一类Chern数的定义进行修改,得到了非量子化的物理量,称之为nontopological(NT)thermal Uhlmann-Chern number,期望能从中获取系统的拓扑信息。以及Bardyn等人从Resta的适用于具有周期性系统的基态极化方程出发,推广得到了混合态的极化方程,推导得出了称为“ensemble geometric phase”的物理量,简称为EGP。这是研究有限温度下的拓扑相位和拓扑不变量的又一种方法。需要特别指出的是,EGP是拓扑量子化的,且在实验上可以测得。目前工作主要集中在两能带模型,鲜少有对更多能级的模型的研究。有工作提到,Anderson模型随着掺杂量的不同(化学势μ调控),在狄拉克-近藤半金属相和拓扑近藤绝缘体相之间转化,表现出新奇而有意思的物理现象。本文重点研究了Anderson模型在弱耦合情况下的拓扑性质。在整个课题的研究过程中,我们的研究成果主要有以下几点:1、我们发现定义的NT thermal Uhlmann-Chern number不确切,研究成果尚有疑问之处,原因可能是对外微分定义的不明确,并给出了详细的推导过程。2、指出当前研究方法尚存在的局限性,比如在二维情况下定义的Uhlmann数与纯态的拓扑不变量不完全等价,解释了原因和适用前提。3、利用数值方法,计算得到Anderson模型(重点考虑弱耦合情况)的Uhlmann相位和Uhlmann数。发现在零温极限下,回归到零温时的情况;而在有限温度是下,温度的调控作用不是很明显。如何实现有限温度下量子体系拓扑不变量的推广,是一个具有挑战性的,但十分有意思的课题。我们取得了一些成果,同时发现现有的零温下纯态的拓扑研究框架不能很好地适用于有限温度下的情况。将拓扑不变量的概念由纯态推广到混合态时,不再是整数。这也使得实验上难以直接观测。而且不同的方法,结果有所差异。我们需要从更深刻、更本质的角度来理解有限温度下量子体系的拓扑不变量。