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本文主要研究有限s-弧传递图的分类问题。令Γ表示一个图,VΓ、EΓ、和AutΓ分别表示它的顶点集、边集和全自同构群。顶点序列(α0,α1,…,αs)称为一个s-弧,如果对任意可能的i,恒有{αi-1,αi}∈ EΓ,并且αi-1≠αi+1。图Γ称为(G,s)-弧传递图,如果AutΓ的一个子群G,在它的s-弧集上的作用是传递的；图Γ称为(G,s)-传递图,如果Γ是(G,s)-弧传递,但不是(G,s+1)-弧传递的。有限s-弧传递图的研究起源于W.T.Tutte在1947年给出的一个漂亮结果：一个三度图最多是5-弧传递的。自此之后,关于有限s-弧传递图的研究就引起了广泛的关注,并逐步成为了代数图论中一个非常活跃的研究课题。特别是这类图的分类与刻画,一直倍受关注,它是一个公认的难题但具有重大的理论意义。本文侧重于研究奇数个顶点的2-弧传递图和三度的s-弧传递Cavley图。C.E.Praeger[57]在1992年证明了每一个2-弧传递图都是一个拟本原或双拟本原2-弧传递图的正规覆盖(将在2.2节给出定义)并且拟本原自同构群只能是四种拟本原型之一。称一个没有非平凡正规商图的图为基本图。可以知道分类或刻画基本图是研究2-弧传递图的核心。李才恒[42]证明了,当图顶点个数为奇数时,对称图至多是3-弧传递的并且每一个基本图都可以由几乎单群构成,同时提出了一个问题:分类或刻画奇数个点的2-弧传递图。这个问题自提出到现在的十数年的时间里都没有得到解决。本文的主要工作之一就是分类了奇数个顶点的2-弧传递基本图。在我们的工作过程中,有两个重要的工具:一个是Thompson-Wielandt定理,另一个是Liebeck和Saxl在1985年给出的关于奇次数本原置换群的分类定理。令Γ为一个奇数个点的(G,2)-弧传递图,其中G是几乎单群。这时点α∈VΓ的稳定子Gα在其邻域Γ(α)上诱导的置换群GΓα(α)是2-传递置换群。而2-传递置换群已经完全分类了。首先根据Thompson-Wielandt定理,我们可以得到Gα的基本结构,特别是它的非可解合成因子的分布情况。进而,利用奇次数本原置换群的分类定理,通过分析Gα与G之间的一个特定的子群链,递归的得到G以及Gα的精确结构。最后,根据已经得到的(G,Gα)确定相应图的存在性,从而给出了奇数个点2-弧传递基本图的一个分类与刻画。
本文的另一个主要工作是研究三度对称Cayley图。可以证明每一个对称Cavley图要么至多是2-弧传递的,要么是一个s-弧传递无核Cayley图的正规覆盖。李才恒[48]证明了当s≥3时,对于给定度数的s-弧传递无核Cayley图只有有限多个。本文中,通过研究次数不超过48的传递置换群的结构,给出了三度对称无核Cayley图的分类,同时证明了每一个三度对称Cayley图或者是正规的,或者有一个正规的半正则子群恰好有两个轨道,或者是下面15个图之一的正规覆盖:两个2-传递图,三个3-传递图,四个4-传递图和六个5-传递图。同时,在不利用单群分类的前提下证明了一个著名结论:所有有限非交换单群的连通三度对称Cayley图除了两个5-弧传递图外都是正规的。