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本论文分为两部分。第二、三、四、五章研究一些非线性发展方程的自相似解；第六、七章研究非线性Schr（?）dinger方程及Schr（?）dinger-Boussinesq方程的低正则问题。一般地，考虑偏微分方程这里，α=（α0，……，αn）为多重指标，假设方程（1.1）具有这样的代数对称性：存在实数αi，b，对（?）λ∈（0，∞），若令则仍有对满足相似结构（1.3）的偏微分方程（1.1），我们考虑它的具有自相似结构的解，即（相似结构及其在方程中的应用可参见[4]，[20]）具体到非线性发展方程（令x0=t），设u（x，t）是下列诸类非线性方程的Cauchy问题的解，则分别是Cauchy问题（1.4），（1.5）将初值函数u0（x）换成λ2/αu0（λx）的解，是波动方程的Cauchy问题（1.6）将（u）（x），u1（x）)换成(λ2/αu0（λx），λ1+2/αu1（λx）)时的解， 定义 0.1（ⅰ）称u（x，t）是Schr（?）dinger方程的Cauchy问题（1.4）或热传导方程的Cauchy问题（1.5）的自相似解，如果（ⅱ）称u（x，t）是波方程的Cauchy问题（1.6）的自相似解，如果研究自相似解的经典方法是通过求解椭圆型方程的解来实现的。例如，就热传导方程而言，设V（x）是椭圆方程△v+玉二.:v+里v+v3=0， ZZ第一章摘要 （1 .10）的解，则试二，约=。一去v(t一告幻是（l .9）的自相似解.其中称v是。的波阵面.当。=1时，常微分方程（1 .10）相对来说容易研究;当n全2时，通过椭圆方程（例如（1.10））来求解自相似解是件困难的事.然而，借助于调和分析方法可以研究非线性发展方程的自相似解.事实上，设方程（19）的初始条件 二（x，0）二。。（x），（1 .11）满足 入。。（入x）==。。（x），且热方程（1.9）的Cauchy问题（1.n）在某个合适的Banach空间中适定，若记（1.9），（1.U）的解是。（x，t），则由唯一性可知。(x，约就是自相似解. 自相似解的适定性问题能否在经典的适定性框架下加以解决?一般地，对抽象Cauchy问题 “‘+A”=F（“），。（o）=必（二），价cX，（1 .12）适定性的研究是通过其积分方程·（。）一，+芜‘一‘卜·，‘F（·）（·）、，，。X，（1 .13）来实现的.确定基本工作空间的原则是:。一tA在x中生成C0半群，即对v价。X，e一以价任C（I;X），I=R或R+.由Minlin一H6rmander乘子定理（见【3」），对Schr6dinger方程，波动方程而言，x=H‘（R勺，。cR;对热传导方程而言，X=H”，3〔R，1<p<co.具体到非线性问题时，已有的结果表明，当X是临界或次临界空间时，间题（1.12）或（1.13）在C（无X）中局部适定.对于Schr6dinger方程、热方程、波动方程而言，齐次临界空间满足 }I。。（x）11分二。=11*荟。。（*x）11方:。，v*>o， 11。。（x）11方。。.;=11入誉。。（*x）l!方二。.p，v入>o，vi<;<co， l}。。（x）11方:。=11*荟。。（入x）日户。。，v入>o，由此可得s。二晋一景，s。=登一号，8。=晋一孚当。>s。时，分别称H‘，HS）P，H‘为对应于三类方程的次临界空间，反之则为超临界空间. 取自相似解初始条件的一个特例tL。（x）=}二}一荟，按照经典适定性研究的要求应有。。（x）:方一，。。一要一兰，sohr6d，nger方程， ‘Q”o（x）。H‘。，p， 2二、一一，热万程.（1 .14）（1 .15） 一一几一P 一 以 S下面仅验证（l .14）不成立.事实上由公。(劫二。圈卜“可知 r凶rZ，+111”。（x）11升一jR。l“I’‘“’}“。（“）I，“一艺22‘。’关，l“。（“）l“‘一co· J=一。。一因此经典的结果不能用于形如二。（:）=}:}一景的cauchy间题（l .4），（l .5）的研究.为此需将Cauchy问题（1.4），（1.5），（1.6）适定性的概念推广，即推广连续依赖的概念，保留唯一性，以达到求解自相似解的目的。 注意到Cazenave，tVeissler，Ribaud，YOussifi，Peeher等人关于Sehr6dinger方程，热方程，波动方程的工作113」，!141，{45」，【47]，【49〕，我们在第二章中考虑了复Ginzberg一Landau（CGL）方程的Cauchy问题二:一:△二一乞△二+（a+乞乙）}。}。。=O， 。（x，O）=。。（x）.的衰减估计，给出解在空间（1 .16）通过建立s:（。）=。“‘△e“△ xs，;={二任S‘（R几xR+SUP七>0t月（，，，）}}。（x。t）}}方。，，<oo}中的存在唯一性，从而当初始函数。。（x）同时满足 。。（二）=入号二。（*x），I}又（。）。。I!二。，，<<1，（217）时，cauchy问题在X，，;中有唯一的自相似解。 定理住1设。任U，“任Ja，，任△，p=瑞石，则存在依赖于‘的常数拭的>0，使得当 1}凡（t）二。{}x。，;<占（:），时，cGL在X、;中有唯一的解试t，x）满足， 1{二（亡）日x，，;<2咨（。）.这里U，Ja，△表示指标的范围