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本文利用特征函数梯度估计的方法对紧致Riemarm流形上的第一特征值的下界进行了估计。本文共分为五个部分：
第一章介绍了第一特征值下界估计这一问题产生的背景和研究意义，同时介绍了相关问题的研究进展情况。
第二章主要介绍有关第一特征值的一些基本概念和基本公式。
第三章叙述了问题的分类和待证的结果。
第四章给出了不带边情形下的一些第一特征值下界估计的证明。
第五章给出了带边情形下三种不同类型的一些第一特征值下界估计的证明。