【摘 要】
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张量作为数学的重要分支之一,是标量、向量和矩阵的高阶推广.H-张量作为-矩阵的推广,具有和-矩阵一样的特殊结构并在张量分析与运算中起着至关重要的作用.张量的性质、判定准则及其相关问题成为近年来众多学者关注的热点话题.此外,与H-张量密切相关的偶数阶齐次多项式正定性在医学图像扫描与处理、数据分析与数据挖掘、数字信号处理、非线性自治系统的稳定性分析、量子纠缠问题、多元神经网络等领域都有着紧密的联系.然
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张量作为数学的重要分支之一,是标量、向量和矩阵的高阶推广.H-张量作为-矩阵的推广,具有和-矩阵一样的特殊结构并在张量分析与运算中起着至关重要的作用.张量的性质、判定准则及其相关问题成为近年来众多学者关注的热点话题.此外,与H-张量密切相关的偶数阶齐次多项式正定性在医学图像扫描与处理、数据分析与数据挖掘、数字信号处理、非线性自治系统的稳定性分析、量子纠缠问题、多元神经网络等领域都有着紧密的联系.然而,在理论与实际应用中,许多结构张量的检测或判定问题往往还存在许多困难.基于此,本学位论文在相关研究的基础上对一类重要的且不容易判定的结构张量―H-张量做进一步的研究,同时,根据偶数阶实对称张量与H-张量之间的正定性所具有的一致性,对多元偶次齐次多项式的正定性的判定问题展开进一步的研究.具体内容如下:首先,本学位论文通过构造不同的正对角矩阵变换因子,并结合不等式放缩技巧,给出了关于H-张量的几个比较实用的判定准则,针对现有判定准则失效的情形,本文所给判定准则仍可以判定一些张量是H-张量,同时通过数值算例说明了所给准则的有效性和优越性.另外,还建立了一些H-张量的充分必要条件.作为这些准则的重要应用,进一步给出了判定偶数阶实对称张量正定性的判定准则,即判定一类偶次多元齐次多项式正定性问题的判定准则.为了更好地阐述这些事实,同样也在每一个准则之后通过一些数值算例,说明了结果的可行性和有效性.
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