工程中的计算问题大部分都可转化成求解线性方程组的问题，而这些线性方程组有的时候是不相容的，本文研究以一些特殊的长方矩阵为系数阵的不相容方程组——Vandermonde方程组，Toeplitz方程组，Loewner方程组等的极小范数最小二乘解的快速算法，以及求这些特殊矩阵的左逆及右逆的快速算法。常规的计算m×n阶不相容线性方程组的极小范数最小二乘解的算法所需计算量为O（m²n），而本文根据特殊矩阵的特殊结构，通过两种不同的构造方式给出了两类不同的计算极小范数最小二乘解的快速算法，并给出了求特殊矩阵的左逆及右逆的快速算法，它们的计算量均为O（mn）+O（n²）。本文的结构如下： 第一章先给出了Vandermonde方程组的极小范数最小二乘解的一些实际应用背景，然后通过构造方阵V^TV（或VV^T）并求其逆矩阵导出了求以m×n阶Vandermonde矩阵及其转置，以及m×n阶跳行Vandermonde矩阵为系数阵的线性方程组极小范数最小二乘解的快速算法。 第二章通过研究（A^TA）^-1及（AA^T）^-1的快速三角分解算法，分别给出了以m×n阶Loewner矩阵、Vandermonde矩阵及Toeplitz矩阵为系数阵的线性方程组极小范数最小二乘解的另一种快速算法。 第三章先给出左逆及右逆的定义，然后分别给出了求m×n阶Toeplitz矩阵、Hankel矩阵、Loewner矩阵、Vandermonde矩阵的左逆及右逆的快速算法。 第四章给出了本文算法的一些数值算例，说明了算法的正确性。