【摘 要】
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本文主要研究了带有各项异性变指标和对流项的非线性扩散方程。首先,我们构造了具有各向异性指数的Orlicz-Sobolev空间,证明其完备性、可分性和稠密子集,并给出相应共轭空间的完备性。继而在其中证明了弱解的存在唯一性,在一定的条件下,提升了弱解的正则性。其次,我们克服变指数带来的影响,构造不同形式的能量函数,结合凸性方法给出解的爆破判据。另外,我们运用常微分方程的比较原理,构造辅助函数,利用能量
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本文主要研究了带有各项异性变指标和对流项的非线性扩散方程。首先,我们构造了具有各向异性指数的Orlicz-Sobolev空间,证明其完备性、可分性和稠密子集,并给出相应共轭空间的完备性。继而在其中证明了弱解的存在唯一性,在一定的条件下,提升了弱解的正则性。其次,我们克服变指数带来的影响,构造不同形式的能量函数,结合凸性方法给出解的爆破判据。另外,我们运用常微分方程的比较原理,构造辅助函数,利用能量不等式,研究了解的灭绝和不灭绝的性质。同时,在不对初始值加条件的前提下,利用变指标问题的比较原理,构建合适的上解,得到了解的整体存在的判定准则。最后,研究了许多爆破解和灭绝解的速率估计以及整体解的衰减估计。本文分为六个章节:文章的第一、二章节首先介绍了目前研究的背景、意义及国内外研究现状,然后给出本文要研究的问题、必要的预备知识和存在唯一性定理。第三章给出了本文所研究的爆破、灭绝和整体存在重要定理。第四章通过能量函数和凸性方法得到了爆破相关定理的证明。第五章利用常微分方程的比较原理及能量不等式得到了灭绝相关定理的证明。第六章得到了整体存在的证明结果。研究发现,在变指数抛物方程问题的Fujita爆破现象中,变指数和变系数对解的爆破发挥重要作用。
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