科学计算是与理论研究、科学试验并重的三大主要科学研究方式,其重要性日益突显.奇异摄动问题的摄动参数很小时导致失去边界条件,面对大量多尺度边界层现象往往无法有效求解,因此研究其高效数值模拟有重要意义.多尺度问题及其方法是现今科学计算的重点和热点,人们在计算精度和计算代价之间寻找合理平衡的解决途径,一直在探索既能够保证计算精度、又可以节约计算资源的新数值方法来处理复杂多尺度问题.本博士论文的内容安排如下：第一章介绍奇异摄动问题和现行的多尺度计算方法,阐述数值计算结合自适应技术的重要意义,并给出文中所需的记号、定义和重要不等式.第二章给出相关理论分析,分别探讨传统有限元解与多尺度有限元解的存在性和收敛性.第三章以一维对流扩散方程为对象,研究多尺度有限元法处理奇异摄动问题的数值模拟优势.利用原问题的微分算子构造子问题求解多尺度基函数,能在宏观尺度有效地反映出微观信息,进而通过有限元格式得到有效的数值模拟.考虑基于误差估计的自适应型网格,构建特殊的Shishkin、Graded、Bakhvalov网格,通过数值实验展现出多尺度有限元法精确的、高效的计算优势.第四章以二维反应扩散方程为对象,探究Galerkin、Petrov-Galerkin多尺度有限元格式的高效数值逼近.通过理论分析,证明了多尺度有限元解的稳定性和收敛性.不同于Galerkin格式,Petrov-Galerkin多尺度格式给出独立构建的试探函数空间与检验函数空间,从而提供更丰富的多尺度基函数嵌入选择.无论针对常系数问题还是变系数问题,在自适应型的计算网格上无需特殊技巧,我们的方法能自动消除多尺度共振误差,在粗网格上就得到不依赖于摄动系数ε大小的、一致高阶收敛的高效数值模拟.第五章针对时空间强振荡的抛物型方程,建立与时间相关的全离散化多尺度计算格式,通过多尺度基函数自动反映出问题本身的强振荡性.采用Euler向后差分隐格式,形成并求解大规模方程组,因此仅在粗网格运算、所需的计算存储量和计算时间都大为缩减,其数值优势益发明显.本文已得到了一些有意义的理论和数值结果,今后还将在后验误差构造高效能计算格式、多相流问题的多尺度有限元计算、数值程序包的并行化运算和模块化集成等方面继续开展研究.