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子流形高斯像的几何与拓扑是整体微分几何领域的重要研究课题之一.本文着重研究常曲率空间形式中完备子流形高斯像体积的几何与拓扑性质.获得了子流形高斯像体积的计算公式及其上、下界估计，并证明了高斯像体积pinching条件下的拓扑球面定理.
1968年，陈省身证明了欧氏空间R2+p中完备可定向极小曲面高斯像的面积等于该极小曲面的总曲率乘以-1.1986年，陈志华将这一定理推广到球面S2+p和双曲空间H2+p中完备可定向极小曲面的情形.在此基础上，1990年，李海中和许洪伟独立地给出了常曲率空间形式中完备可定向曲面高斯像的面积计算公式.1981年，M.Gromov证明了任一n维紧致黎曼流形M的全Betti数∑ni=0βi≤C(n，k)，其中C(n，k)为仅与n，k有关的正常数，k=infKM.
本文第一部分首先研究了欧氏空间Rn+p中n维完备可定向子流形的高斯像的几何与拓扑性质，给出了高斯像体积的计算公式、高斯像体积的几何上界和拓扑下界，证明了高斯像体积pinching条件下的拓扑球面定理.确切地说，获得了下述结果：设ψ：M→Rn+p是n维完备可定向黎曼流形M到Rn+p的等距浸入，g(M)为M的高斯像.则(i)V(g(M))≤n-n/2∫MSn/2dM；(ii)如果M是紧致的，那么V(g(M))≥ω-1p-1∫Sn+p-1E∑i=0Ci(ψz)dz≥C(n,p)n∑i=0βi
特别地，当V(g(M))＜3C(n，p)时，M必同胚于n维球面Sn(1).这里ψz是z方向上的高度函数，E是Sn+p-1中的零测集，Ci(ψz)是Morse函数ψz的指数为i的临界点的个数，βi是M的关于任一固定系数域的第i个Betti数，C(n，p)=ωn+p-1/ωp-1，ωm是m维单位球面Sm(1)的体积.
球面中子流形具有两类不同的高斯映射.本文第二部分研究了球面中完备子流形的第一类高斯像的几何与拓扑性质，获得了第一类高斯像体积的计算公式，并将第一部分中的主要结果作了如下推广：
设ψ：M→Sn+p是n维完备可定向黎曼流形M到Sn+p的等距浸入，g(M)为M的第一类高斯像.则(i)∫M√1+SdM≤V(g(M))≤∫M(1+S/n)n/2dM，当且仅当M是全测地时等号成立；(ii)如果M是紧致的，那么V(g(M)≥ω-1p∫Sn+pEn∑i=0Ci((Iοψ)z)dz≥C1(n,p)n∑i=0βi.特别地，当V(g(M))＜3C1(n，p)时，M必同胚于n维球面Sn(1).这里(Iοψ)z是等距浸入Iοψ：M→Rn+p+1在z方向上的高度函数，I：Sn+p→Rn+p+1是标准等距嵌入，E是Sn+p中的零测集，Ci((Iοψ)z)是Morse函数(Iοψ)z的指数为i的临界点的个数，βi是M的关于任一固定系数域的第i个Betti数，C1(n，p)=ωn+p/ωp，ωm是m维单位球面Sm(1)的体积.
本文第三部分研究了球面中完备子流形的第二类高斯像的几何与拓扑性质，将前两部分的主要结果作了相应推广.
设ψ：M→Sn+p是n维紧致可定向黎曼流形M到Sn+p的等距浸入，g(M)为M的第二类高斯像，则V(g(M))≥ω-1p∫Sn+pEn∑i=0Ci(Iοψ)z)dz≥C1(n,p)n∑i=0βi,特别地，当V(g(M))＜3C1(n，p)时，M必同胚于n维球面Sn(1).这里(Iοψ)z是等距浸入Iοψ：M→Rn+p+1在z方向上的高度函数，I：Sn+p→Rn+p+1是标准等距嵌入，E是Sn+p中的零测集，ci((Iοψ)z)是Morse函数(Iοψ)z的指数为i的临界点的个数，βi是M的关于任一固定系数域的第i个Betti数，C1(n，p)=ωn+p/ωp，ωm是m维单位球面Sm(1)的体积.
此外，还证明了当M2为S2+p(1)中完备可定向的曲面时，则第二类高斯像面积为V(g(M))=∫M√K2-2(1+2H2)K+8H4+4H2-2H2SH+1dM.