【摘 要】
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本文主要研究有限群的子群可补性.设G是有限群,H ≤G.若G中存在子群K ≤G,满足G=KII,且H(?)K=1,则称H在G中可补.在群论研究中,研究子群可补性对有限群的结构及性质的影响是十分重要的课题.本文主要做了以下三方面的研究:首先利用有限群的不可补子群个数刻画单群A5;然后对8阶子群都可补的群结构和性质做了细致研究;最后进一步分析和讨论了 Sylow 2-子群的可补性对有限群可解性的重要影
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本文主要研究有限群的子群可补性.设G是有限群,H ≤G.若G中存在子群K ≤G,满足G=KII,且H(?)K=1,则称H在G中可补.在群论研究中,研究子群可补性对有限群的结构及性质的影响是十分重要的课题.本文主要做了以下三方面的研究:首先利用有限群的不可补子群个数刻画单群A5;然后对8阶子群都可补的群结构和性质做了细致研究;最后进一步分析和讨论了 Sylow 2-子群的可补性对有限群可解性的重要影响.本文得出的主要结论如下:定理3.6设G是Sylow 2-子群为4阶初等交换2-群的60阶群.若存在G的2阶子群在G中不可补,则G ≌ A5或G ≌ A4 × C5.定理3.7 |G|=60,G ≌ A5当且仅当G中恰有46个不可补子群.定理4.6设G为任意8阶子群都可补的有限群.若G为非交换单群,则G≌PSL2(7).定理5.2若有限群G的Sylow 2-子群交换且可补,则G可解.定理5.4设G为非交换单群,其中|G|=2at(2,t)=1,则G的Sylow 2-子群在G中可补当且仅当G≌尸SL2(q),q=2a—1.定理5.5设G为有限群,|G|=2at(2,t)=1.若G的Sylow 2-子群在G中可补且G是尸SLS2),自由,Pr=2a-1,其中p为素数,r为正整数,则G可解.定理5.6设G为非交换单群且7| |G|.若G的Sylow 7-子群在G中可补且G是尸SL3(q)-自由,则G≌A7.
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