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本文研究平面上含有一个双曲比率为1的双曲细鞍点和一个有有限余维数且具有中心转移映射的鞍结点的多角环的环性.设Xλ为平面上C∞向量场族，X0有如上所说的多角环Γ.多角环Γ是一个组合环，它由左侧含鞍结点和鞍点的子环Γ1和右侧鞍点的同宿环Γ2组成.Γ分支出极限环的个数等于Γ1的环性，Γ2的环性和围绕Γ外侧分支出的极限环的个数之和.
文中分别考虑了三部分的环性.F.Dumortier，R.Roussarie，C.Rousseau证明了子环Γ1的环性≤2.对于后两部分，由奇点邻域附近转移映射和奇点邻域外沿轨线定义的转移映射，可以得到多角环邻域内与Poincaré映射的不动点等价的映射(displacementmap)△(x)，从而将多角环分支出极限环的个数问题转化为求△(x)孤立零点的个数问题.但是在实际求解过程中△(x)=0不利于计算，为此利用鞍点附近转移映射(Dulac映射)所满足的常微分方程和广义Rolle定理得到△(x)=0的解的个数至多等于方程δ0(x，λ)=0的解的个数加1(δ0(x，λ)的定义见(23)式).通过求导数，乘以正(负)函数和反复利用Rolle定理的技巧得到δ0(x，λ)=0的解的个数上界.由此得到Cycl(Xλ，Γ2)≤n+2和围绕Γ外侧至多可分支出n2+7n+10/2个极限环.最后得到结论Cycl(Xλ，Γ)≤(n+3)(n+6)/2.