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在这篇博士后出站报告中,我们主要基于Nagel和Stein最近的工作([79,81,82]),讨论多复变中一类拟凸域边界上相应于Kohn-Laplacian算子的奇异积分算子以及函数空间理论,这类型奇异积分算子及Hardy空间与经典的Calder(o)n-Zygmund算子及Hardy空间有着本质的区别。
具体的拟凸域的模型是以下的Cn+1中的decoupled domain以及与之密切相关的(C)2n中的乘积区域的Shilov边界和(C)2中的拟凸域,其中n≥2。
称Cn+1中的区域Ω及其边界M是decoupled,若存在次调和且非调和的mj阶多项式只,使得
Ω={(Z1,,Zn,Zn+1)∈(C)n+1:(ξ)[Zn+1]>∑j=1 Pj(Zj)};(0.0.1)
M={(Z1,,Zn,Zn+1)∈Cn+1:(ξ)[Zn+1]=n∑j=1Pj(Zj)}.(0.0.2)
对于每个Pj,我们所考虑的(C)2中的拟凸域如下
Ωj={(Zj,Wj)∈(C)2:(ξ)[Wi]>Pj(Zj)};(0.0.3)
Mj={(Zj,Wj)∈(C)2:(ξ)[Wj]=Pj(Zj)}.(0.0.4)
由此,有(C)2n中的乘积区域及其Shilov边界
(Ω)=Ω1××ΩN;(0.0.5)
(M)=M1××MN.(0.0.6)
其中Ω和M的一个典型的例子是(C)n+1中的Szeg(o)上半空间Un以及其边界Heisenberggroup(H)n。人们已熟知的结果是Un和Hn是分别双解析等价于(C)n+1中的单位球Bn及其边界a(B)n。故上述decoupled domain是拟凸域中很典型的例子,该区域上对应于Kohn-Laplacian的基本解、热方程等相关问题(例如解的正则性估计,热核估计等等)已经Wchrist,Fefferman,Kohn,Stein等进行了系列的研究(见[42],[16],[36],[71],[78],[68])。
调和分析中的核心内容之一,Calder(o)n-Zygmund算子和Hardy空间理论在偏微分方程中有着非常重要的作用。而其起源之一是复平面上的单位圆及其边界,随后发展到复平面的上半空间以及边界。后来由Stein,Weiss,Calder(o)n等将其发展到(R)n并建立了相应的实方法,从而使得这部分理论完全脱离了对复变量的依赖。但Stein曾指出(见[94],[95]),相应于多复变的区域。一定会有一套与之相应的函数空间和奇异积分算子理论。
在这篇报告中,我们所专注的问题是decoupied boundaryM上的奇异积分算子和Hardy空间理论。而要解决上述的问题,按目前的方法需要分三步走。
1.在每个Mj上建立相应的表示定理,Littlewood-Paley理论,Hardy空间,奇异积分算子的有界性;
2.在Shilov边界(M)上建立相应的表示定理,Littlewood-Paley理论,Hardy空间,奇异积分算子的有界性;
3.利用提升和投影,建立M上的Hardy空间理论,奇异积分算子的有界性。