【摘 要】
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张量计算是数值代数和非线性优化领域研究和探讨的热点问题之一,它在图像恢复、图像与信号处理、计算机视觉、机器学习等领域有着广泛的应用.本文系统地研究了张量填充与张量最小二乘问题的理论、算法及其应用.第二章,研究一般低秩张量填充问题（?）rank（χ）s.t.PΩ（χ）=PΩ（M）,利用Laplace函数和TV正则项,我们建立了新的张量填充模型,设计了交替方向乘子方法求解新模型,给出了算法的收敛性分析
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张量计算是数值代数和非线性优化领域研究和探讨的热点问题之一,它在图像恢复、图像与信号处理、计算机视觉、机器学习等领域有着广泛的应用.本文系统地研究了张量填充与张量最小二乘问题的理论、算法及其应用.第二章,研究一般低秩张量填充问题（?）rank（χ）s.t.PΩ（χ）=PΩ（M）,利用Laplace函数和TV正则项,我们建立了新的张量填充模型,设计了交替方向乘子方法求解新模型,给出了算法的收敛性分析,最后利用彩色图像、灰度视频、多光谱图像和核磁共振图像进行计算机仿真实验.数值效果表明新模型和求解算法可行且有效.第三章,研究定秩流形上的张量填充问题（?）1/2‖PΩ（χ）-PΩ（M）‖F2,s.t.χ∈M:={χ∈Rn1×n2×n3|rank（χ）=r|,借助于微分几何工具,一般的低秩张量填充问题可转化为黎曼流形上的无约束优化问题.针对流形上的无约束优化问题,我们构造了一个新的黎曼共轭梯度算法求解转化后的无约束优化问题,给出了算法的收敛性分析.数值实验表明新算法可行且有效.第四章,研究Einstein乘积下的广义非负张量最小二乘问题（?）1/2‖A*Nχ*MB-D‖F2 s.t.χ≥0,对于非负最小二乘问题,我们考虑使用一阶梯度投影类方法来处理非负约束,同时对BB步长进行适当的修正,设计了一种新的结合递减标量策略的非单调梯度投影算法,推导了算法的收敛性分析.数值实验表明新方法可行且有效.
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