分数阶微积分主要研究非整数阶次的微分和积分,它有别于传统的整数阶微积分,其记忆性和非局部特性非常适合用来描述现实世界中具有记忆和遗传性质的材料。目前,分数阶微积分理论在物理、化学、生物、金融、流体等领域应用越来越广泛。由于其实现的阶次灵活且自由度大,所以它在图像处理领域的应用逐步被研究人员关注。图像是二维信号,具有复杂的边缘和纹理等细节信息,而分数阶微积分在图像的边缘和纹理信息处理方面具有特殊的作用――分数阶微分能够提高信号高频成分且非线性地保留信号的低频成分,分数阶积分能够提高信号低频成分且非线性地保留信号的高频成分。因此,基于分数阶微积分的图像处理研究是非常有意义的。如何建立分数阶微积分与图像处理领域之间的联系,以及如何构造分数阶微积分方程在图像处理领域的模型都是在分数阶微积分的图像处理研究中亟待解决的重大问题。本论文将通过特定的分数阶微积分定义与图像处理领域的重要工具――傅里叶变换和分数阶傅里叶变换建立分数阶微积分与图像变换的关系。首次提出分数阶变阶微分的概念,进而设计基于分数阶变阶微分的图像去噪模型,以及基于分数阶变阶微分的图像复原模型,最终实现了分数阶微积分在图像处理领域的交叉应用。分数阶微积分、傅里叶变换、分数阶傅里叶变换各自都有很好的性质,并且它们的关系式子比较简洁,因此容易进行交叉应用。分数变阶微分突破了传统微分思想,由其建立的新模型对信号和图像的细节处理非常有效。同时在研究的过程中以大量的数值实验和matlab仿真验证所提出方法的有效性。本文主要创新之处:1.研究了分数阶微积分与图像处理领域之间的联系,分析并导出了分数阶微积分与图像处理中的两个重要工具傅里叶变换和分数阶傅里叶变换之间的关系式,给出了分数阶微积分与图像处理交叉应用的实例,从而为分数阶微积分在图像处理领域的应用奠定了基础。2.首次提出了分数变阶微分的概念,即在对矩阵函数进行微分操作时可对每个元素函数进行不同阶次的微分处理,它不同于传统的常数阶微分方法。利用分数阶微分对信号具有提高高频成分的同时非线性地保留低频成分的特点,建立了分数变阶微分图像去噪模型,该模型可根据图像不同区域的不同特征自动地选择不同的微分阶次进行图像处理,使得图像在非纹理区域可以较好地去噪并抑制“阶梯效应”,在纹理区域可以较好地保持纹理。3.结合分数变阶微分和全变分图像复原方法的思想,提出了基于分数变阶微分的图像复原新方法。该方法既不采用一次范数进行图像的“平滑性”度量,也不采用二次范数进行图像的“平滑性”度量,而是采用分数阶次的范数对图像进行“平滑性”的测度,这样既克服了一次范数带来的“分片常数”现象,又解决了二次范数导致的边缘模糊化问题,能得到很好的复原效果。