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本文致力于研究带随机利率的风险模型的破产问题，带常利率经典的风险模型的分红问题和保费收入随机化的风险模型的破产问题。
自从经典的风险模型提出后，许多研究人员对此进行了推广，以使得更符合保险公司的实际的经营情况。而带利率的风险模型就是对古典风险模型的推广之一。在传统的精算理论中，一般不考虑利率因素，而当我们所考虑的是一种长期的险种的时候，则常常需要考虑货币的时间价值，即利率问题。近来国内外一些学者开始在风险模型中考虑利率因素，例如：Yang.,Zhang(2001)给出了常利率下破产前瞬间余额和破产时赤字的联合分布。吴荣，杜勇宏(2002)对利率过程{Rt，t≥0}为常数的更新模型，得到了破产概率，破产时的余额分布以及破产前瞬间余额分布的级数展开式和积分方程.Wu.,Wang.,Zhang(2005)得到了常利率下破产时，破产前瞬间余额和破产时赤字三者的联合分布。CaiandDickson(2002)研究了随机利率下Gerber-Shiu期望折现函数。Cai(2003)对带随机利率的经典风险模型，导出了破产概率的上界。在此基础上Cai(2004)又得到了破产概率的积分方程，上下界以及Gerber-Shui期望折现罚金函数的积分微分方程。DeFinetti(1957)最早提出了最优分红问题，并指出了，当保险公司的余额过程为一个离散过程时，最优分红策略为带壁分红策略，即当余额超过某一设定的界限时，保险公司才对股东分红.Bühlmann(1970)讨论了经典风险模型中的最优分红问题.Gerber,Shiu(2004)讨论了带正漂移的布朗运动在带壁分红策略下的最大值分红问题.Gerber,Shiu(2006)讨论了最优分红策略下，带正漂移的布朗运动的反射和折射问题。Gerber,Shiu(2006)又讨论了经典风险模型下的按某一有界的比例的分红问题，并且指出了最优分红策略为带壁分红策略.本文就是在此基础上，讨论了常利率古典风险模型的按某一有界的比例的分红问题.
第一章，随机利率下的Erlang(2)风险模型，主要对索赔记数过程是Erlang(2)过程，随机利率为一个Lévy过程的风险模型进行了讨论。首先导出了破产概率满足的积分方程，估计了其上下界，然后针对随机利率为布朗运动以及漂移布朗运动的情况导出了破产概率满足的具体积分方程，最后讨论了罚金函数，并写出了罚金函数满足的积分方程以及在特殊情况下满足的积分微分方程。
具体结果如下：
定理1.2.1：破产概率满足Ψ(u)=∫∞0∫∞0(-F)(ux+cy)p(x，y)dxdy+∫∞0∫∞∫ux+cy0Ψ(ux+cy-z)p(x，y)dF(z)dxdy.定理1.3.1：对u≥0，Ψ(u)≥E[(-F)(uA+cB)]/1-∫10∫u(1-x)/c0F(ux+uy)p(x,y)dxdy.定理1.3.2：对所有的u≥0，有：Ψ(u)≤αE[exp{RZ1}]E[exp{-R(ux+cB)}]≤αeRu，其中(α)-1=inft≥0{∫∞texp{Rz}dF(z)/exp{Rt}(-F)(t)},0≤α≤1.定理1.4.2：利率过程Rt为标准的布朗运动时，破产概率满足积分方程：Ψ(u)=β2∫∞0te-βt[∫∞0∫∞0(-F)(ux+cy)(~g)(x，y)dxdy+∫∞0∫∞0∫ux+cy0Ψ(ux+cy-z)(~g)(x，y)dF(z)dxdy]dt.定理1.4.3：利率过程Rt为漂移布朗运动时，破产概率满足积分方程：Ψ(u)=β2∫∞0te-βt[∫∞0∫∞0(-F)(ux+cy)gt(x，y)dzdy+∫∞0∫∞0∫ux+cy0Ψ(ux+cy-z)gt(z，y)dF(z)dxdy]dt.
定理1.5.1：罚金函数Φα(u)满足积分方程：Φα(u)=β2∫∞0te-(α+β)t∫∞0∫∞0∫ux+cy0Φα(ux+cy-z)p(x，y)dF(z)dxdydt+β2∫∞0te-(α+β)t∫∞0∫∞0∫∞ux+cyg(ux+cy，z-(ux+cy))·p(x，y)dF(z)dxdydt.在第二章关于常利率古典风险模型的按比例分红问题，在Gerber与Shiu(2005)的基础上，讨论了常利率古典风险模型的按比例分红问题。主要推导出了最优分红策略下，红利总量现值的期望所满足的积分方程，以及当保险公司的初始资金u大于或等于红利界限b时，红利总量现值的期望的精确结果。
具体结果如下：定理2.3.1：设V(u)为E[D]的最大值，则V(u)满足max0≤r≤α{r+(uδ+c-r)V(u)}-(ρ+λ)V(u)+λ∫u0V(u-y)dF(y)=0.定理2.4.1：V(u,b)满足积分方程V(u,b)=cV(0,b)/uδ+c∫u0ρ+δ+λ(-F)(u-x)/uδ+cV(x,b)dx.(0＜u＜b)V(u,b)=(c-α)V(0,b)-αu/uδ+c-α+∫u0ρ+δ+λ(-F)(u-x)/uδ+c-αV(x,b)dx.(u≥b)
定理2.5.1:在u≥b时，V(0,b)=α[δ+ρ∫∞01/tA(t)dt]/ρ[δ+∫∞0(ρ/t+λμφ(t))A(t)dt].
第三章保费收入随机化的风险模型，推广了龚日朝(2001)的风险模型，把保费随机化，利用鞅方法讨论了保单来到过程与索赔来到过程均为Poisson过程的破产概率。接着又讨论了Gerber-Shiu期望折现函数，推导出了其满足的积分方程，以及Laplace变换。最后利用随机游动的知识，讨论了当保单来到过程与索赔来到过程为同一更新过程时的破产概率。
具体结果如下：定理3.2.4：在此模型中，最终破产概率ψ(u)=e-Ru/E[exp{-R·R(t)}T＜∞].其中R为调节系数。
定理3.3.1：罚金函数φ(u)满足积分微分方程：φ(u)=∞∑n=0∫∞0λ2(λ1t)n/n!e-(α+λ1+λ2)tdt∫∞0…∫∞0[∫u+x1+…+xn0φ(u+x1+…+xn-y)fY(y)dy+∫∞u+x1+…+xnω(u+x1+…+xn,y-u-(x1+…+xn)fY(y)dy]fx(x1)…fx(xn)dx1…dxn.
当保单来到过程与索赔来到过程为同一更新过程时：定理3.4.4：索赔分布FY为参数为δ的指数分布时，破产概率为：ψ(u)=pe-δ(1-p)u.定理3.4.6：当索赔分布FY为参数为δ的指数分布，保费收入的分布FX为参数为σ的指数分布时，破产概率为：ψ(u)=σ/δe-(δ-σ)u.