在过去的一百多年中，压电材料的各种性能（弹性、压电性、介电性、热释电性、铁电性、光电性）相继被人们发现。而伴随着压电陶瓷制备技术的日渐完善，压电材料的应用也日趋广泛。如今，压电材料及其结构在日常生活和高科技的各个领域中随处可见，如：雷达通讯、水声超声、医学成像、红外探测、航空航天、动物仿生和电子测量等。在工程实际中，开孔结构是一种较为常见的结构。在复杂的加载环境下，含孔洞的结构不可避免的会出现应力集中，在孔边诱发裂纹，从而导致材料的断裂破坏。因此，研究压电弹性体孔边裂纹问题具有重要的理论意义和工程价值。本文利用复变函数和保角变换的方法，结合柯西积分，针对无限大压电体内孔边裂纹问题进行理论和数值的研究，导出了某些经典问题的解析解；针对有限大压电体内的孔边裂纹问题，采用半解析半数值的边界元方法，分析了裂尖场的变化规律。主要工作如下：(1)利用复变函数和保角变换的方法，提出了研究压电弹性体中任意形状孔边裂纹的反平面问题的解法。对于经典的圆孔/椭圆孔孔边裂纹问题，在前人的基础上，给出了改进后的保角变换函数，从而得到了这些经典问题的解析解；对于任意形状的孔边裂纹问题，提出了用数值保角变换来求得近似的保角变换函数的方法，从而得到该问题的近似解。通过对孔边裂纹问题的分析，探寻裂尖场强度因子和能量释放率随裂纹尺寸、圆孔直径和外载的变化关系，从而简单判断裂纹的扩展。(2)发展了双材料中含椭圆孔孔边界面裂纹的无限大压电弹性体反平面问题的解法。利用椭圆孔的保角变换函数将椭圆孔及其裂纹保角变换到新平面内的直线裂纹，从而将椭圆孔孔边裂纹双材料问题转化为新平面内的直线界面裂纹问题。利用Stroh公式，分别得到了在电不可穿透裂纹假设和电可穿透裂纹假设下的本问题的复势函数和场强度因子的解析表达式。分析了在两种电边界条件下裂尖的奇异性，以及场强度因子随椭圆大小、裂纹尺寸的变换关系，从理论上找到降低裂尖强度因子的方法。(3)考虑热应力对结构的影响，探讨了复杂形状孔边裂纹的广义二维问题的一般方法。首先由椭圆孔的保角变换函数导出由椭圆孔演化而来的复杂形状孔边非对称裂纹的保角变换函数；其次，基于绝热边界条件，导出了热复势函数表达式；再次，根据热复势函数，假设出电弹场的复势函数表达式，利用无穷远处的场有界性条件、位移单值条件、边界自由和电不可穿透条件，得到该复势函数的表达式；最后，分析了热流、孔周环向应力和环向电位移随裂纹尺寸变化趋势，讨论了裂纹尺寸、椭圆几何形状及外载的变化对场强度因子的影响，从理论上寻找降低场强度因子的方法。(4)针对任意形状孔边裂纹的广义二维问题，将椭圆孔的存在考虑入Green函数基本解中，从而建立了间接边界元的半解析半数值解法。研究任意形状孔边裂纹裂尖应力场及电位移场的分布规律，分析了各种几何尺寸和外载对裂尖场强度因子的影响。由于在基本解中已经考虑了椭圆孔的存在，因此在边界的离散过程中，该椭圆孔不再作为边界离散。当椭圆孔退化为裂纹时，避免了裂纹尖端边界离散的困难，极大地提高了裂尖场的计算精度。