小波分析和变分PDE理论是目前图像处理和低层视觉分析领域的两大基本数学工具。本论文主要围绕二者在图像处理中的建模和应用来进行研究。主要做了以下几个方面的工作:1.以图像恢复为应用背景,探讨了BV正则化空间中G模型(带有自适应逼近项的广义TV方法)和OSV模型(带有H?1范数的TV变分模型)分别与“纯粹的”各向异性扩散方程和小波分析的有机结合。首先,针对PDE去噪方法中非线性扩散方程与变分法的联系,对G模型作了改进,提出一个基于TV和各向异性扩散方程的图像恢复模型。通过引进“纯粹的”各向异性扩散方程的扩散项,该方法不但能够有效地去除噪声、保持边缘的位置,而且能够更好地保持图像中的纹理特征和不能用边缘刻画的大尺度细小特征,使处理过的图像清晰度和对比度大大增加。其次,根据小波系数范数和H?1范数的等价性,在OSV模型基础上提出一个新的TV去噪模型。该方法实现了图像几何信息(曲率)与小波分解的结合,从而避免了在时域中求解复杂的非线性PDE。最后,通过分析OSV模型的性质(v在L2 (Ω)中均值为零),给出其在小波域中类似Galerkin方法的求解算法。实验表明该算法具有可行性。2.主要致力于研究变分模型在图像分解中的应用。针对Meyer提出的TV极小化框架下的振荡函数建模理论,给出其理论模型(BV, G )和(BV, E )在Besov空间中的推广。然后,根据Besov半范数与小波系数范数的等价性,建立了推广模型在小波域中的快速求解方法,从而避免了求解传统意义上的非线性PDE。具体地讲,主要有三方面的内容:第一,提出一类基于Besov空间与负Hilbert-Sobolev空间的变分模型。通过小波系数范数的等价刻画,该模型的解都可以解释为作用于单个小波系数的不同阈值函数。第二,在上述变分模型的基础上,修正Besov光滑项,从而提出基于小波投影的求解算法。算例表明该模型的解都可以表示为不同的小波全局阈值函数。第三,提出一类基于Besov空间与齐次Besov空间的变分模型,并给出其基于不同小波阈值的逐次迭代算法和相应的收敛性分析。3.给出三种迭代正则化算法:一是基于VO变分模型的迭代正则化。通过采用广义Bregman距离,对VO变分模型定义了新的迭代正则化序列,并由此推导出相应的算法。实验表明该算法可以进一步改善VO变分模型在纹理图像恢复中的不足。二是给出一类基于Besov空间B1α,1 (Ω)(α> 0)的迭代正则化。通过引进平移不变的小波变换,新迭代正则化的解都可以解释为依赖于小波尺度、Besov光滑阶、尺度参数以及迭代次数的小波阈值函数。然后,借鉴全变差(TV)图像恢复的思想将上述迭代正则化方法推广到一类基于平移不变小波变换的加权逆尺度空间。最后,研究了一种基于等级分解的图像多尺度表示方法。通过引进单调的尺度参数,该方法为图像在中间空间,BVθ(θ∈[0,1])的特征刻画提供了一种分级的自适应表达式。实验表明新算法是有意义的。4.在AAFC图像分解变分模型的基础上,通过引入半二次规整化思想,导出一个耦合边缘提取的图像分解变分模型,从而实现了图像结构、振荡成分(纹理或噪声)与边缘三种特征的同时提取。同时,探讨了新模型基于投影与耦合PDE系统的逐次迭代算法与相应的数值离散。实验表明,对目标图像与边缘均引入各向异性扩散机制的耦合PDE系统和投影算法能够取得较好的图像分解和边缘检测效果。5.提出一种新的图像放大算法。首先,用Besov范数刻画图像的正则性构造一个变分泛函,然后极小化该变分泛函就得到放大图像。其次,利用Besov范数与小波系数范数之间的等价描述,新的变分问题就完全转化为基于小波域的变分序列,其相应的最优解都可以表示为基于小波域的正交投影。