连续性和可微性是古典函数中的重要内容，威尔斯特拉斯函数的出现奠定了连续不可微函数的基础，开辟了一个新的研究领域，越来越多的数学家开始致力于构造一些新的无处可微连续函数，其中比较引人关注的是Takagi函数和Van Der Waerden函数.　　 1903年，日本数学家Takagi构造了另一个连续无处可微函数T(x)，公式略.将其定义在单位区间[0，1]，‖x‖=min{|x-n|,n∈Z}.本文是综述性论文，通过对Takagi函数的介绍、分析、总结，归纳了Takagi函数的性质，讨论Takagi函数水平集的基本性质，以及其局部水平集与水平集的关系，研究的主要结果是给出了其几个重要性质定理的新证明.　　 绪论部分主要介绍了Takagi函数的构造背景，并且回顾前人所做的工作和已得结论.在第二章中，详细介绍了Takagi函数，首先是对其连续不可微性进行了证明，然后对Takagi函数的基本性质进行了介绍并给出了详细地证明，如T(X)定义在有理数域时，函数值也在有理数集；T(X)是满足等式T(X)=T(1-x)，t(1/2x)=1/2x+1/2T(x)的唯一连续函数；T(X)的自相似性等.最后对Takagi函数图像的豪斯道夫维数和盒维数为1进行了证明.在第三章，主要通过介绍局部水平集的概念、性质，以及由所有局部水平集的最左端点组成的集合ΩL的定义和性质，最终来得到水平集性质以及与局部水平集的关系.