分数阶偏微分方程是指未知变量中含有分数幂的方程,它比传统的整数阶方程更适合于描述具有各种材料的记忆性和遗传性的现实问题,例如,电解化学、凝聚态物理、半导体物理、湍流和粘弹性系统、生物数学和统计力学、光学和热系统、材料和信号处理等领域.分数阶对流扩散问题作为在科学和工程计算模拟中应用最广泛的问题,许多实际的流体流动过程,如传热、流体力学、地下水污染输运扩散过程和油藏、质量和能量传输以及全球天气模拟等问题,都可以用分数阶对流扩散的模型来描述.但是对于这类问题,大部分情形目前都没有精确解,需要精确可靠的离散格式进行数值求解.曲面分数阶对流扩散方程的数值解可直接用来模拟曲面上的流体运动.基于其在流体力学、物理学、材料学以及生物学等的应用背景,曲面分数阶对流扩散问题的数值方法研究对理论和实际都具有非常重要的意义,目前使用较多的数值求解方法是有限差分法和有限元法.但是由于分数阶的非局部性带来的计算困难,大多问题都停留在低维和简单区域的研究,对高维和复杂区域问题的研究并无太多工作.本文主要针对曲面分数阶对流扩散模型,构造了几种稳定高效的数值方法,并对相应的数值格式进行了理论分析,具体内容如下:一是对时间分数阶对流扩散方程的数值算法和应用进行了讨论,在空间上我们通过应用径向基函数差分方法,且采用紧支型Wendland径向基函数加多项式项的形式,来确定径向基函数空间导数中心点周围相邻点处的权重.时间离散我们采用变换的Gr（?）nwald公式,该格式可以得到空间和时间二阶精度的结果.同时,我们提供一种自适应策略来选择支撑域,进而得到一个较精确的形状参数,主要想法是中心点在支撑域中的分布方式使得在中心点周围的相邻点数约为某个常数,这样得到具有较好对称性和稀疏性的系数矩阵.此外,证明了该方法的稳定性和收敛性.最后,数值实验对该方法进行了检测,并得到了精确的结果.该方法很好的解决全局径向基函数方法所产生的病态问题,同时改善径向基函数差分法阶数较低的问题.二是对时间分数阶对流扩散反应方程采用局部紧致积分径向基函数（CIRBF）方法进行了研究.该格式结合积分型径向基函数逼近和紧致近似方法,利用节点函数值和节点二阶导数值信息建立物理空间与径向基函数（RBF）权值空间的关系,根据模板中相邻点的信息对空间导数进行离散.此外,讨论了该方法的稳定性.最后,对二维和三维区域进行了数值算例验证,得到了较高的精度和快速的收敛速度.该方法优化了局部径向基函数法,使其保持系数矩阵条件数较小的优势,同时提升了局部径向基函数法的精度.三是在R3封闭曲面上对时间分数阶对流扩散方程无网格局部径向核函数方法进行数值求解的研究.分数阶的非局部性使其对该模型计算的求解增加了难度,因为它不仅依赖于现在的状态,而且在很大程度上对所有过去的状态都依赖.加上又是曲面问题计算量较大,这在储存和计算效率上都是挑战.解决该问题,我们空间离散采用径向核函数逼近法,时间离散采用二阶变换的Gr（?）nwald格式.利用能量稳定分析法证明了该方法的稳定性和收敛性.最后对曲面上时间分数阶对流扩散方程进行了数值实验和应用.该方法使曲面分数阶对流扩散方程在数值计算上取得进展性工作.四是讨论了空间分数阶反应扩散方程在封闭曲面上的问题.首先给出了曲面上Laplace-Beltrami ∈（1,2]）算子的一些定义,并简单介绍曲面有限元方法用于空间离散的过程.对于空间分数阶的处理,我们利用矩阵变换技术,使得分数阶Laplace-Beltrami算子可近似为Aβ/2u,且A是-△Γ近似的稀疏矩阵,其可以通过特征值分解对角化,这样巧妙地化解了空间分数阶非局部性带来的求解困难.此外,通过大量的数值实验在不同曲面上的应用和分析,表明该方法具有可实行性.该方法首次提出曲面上分数阶Laplace-Beltrami算子,并结合已有的方法,使得曲面空间分数阶反应扩散方程得到很好的应用.