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波的传播是能量传输的一种基本形式,它出现在许多科学,工程和工业领域,它对地球科学,石油工程,电信和国防工业具有重要意义。由于波动问题的复杂性,大多数定解问题还是不能精确求解,因此对于波动方程数值方法的研究就显得非常重要。间断Galerkin(DG)方法是一种兼具有限体积方法和有限元方法突出特征的数值计算方法。而局部间断Galerkin(LDG)方法是Runge-Kutta间断Galerkin(DG)方法的推广,通过引入辅助变量,LDG方法能够将含有高阶导数的微分方程改写为只含有一阶导数的偏微分方程组,然后用DG方法进行空间离散。因此LDG方法具有一定的灵活性和优势,例如它可以很容易地被设计为任意阶精度,这是因为精度的阶数可以在每个单元网格中局部确定。当然它也适用于复杂的网格区域和h-p自适应计算,并具有良好的并行化。对于LDG方法的构造,数值通量的合理使用能够保证系统的稳定性和高精度,以往的研究中大多采用纯交替数值通量,这种数值通量的选取不具有一般性规律并且对于网格边界值的处理过于简单。Y.Cheng,X.Meng,Q.Zhang曾基于Gauss Radau投影下的广义交替数值通量研究分析了一维和二维的线性对流扩散方程,在这种情况下的LDG方法能够使得对于网格边界值的处理更具一般性规律,并能够得到在L~2范数下的最优收敛速率。基于选取广义交替数值通量的LDG方法的诸多优点,本文对该方法在波动方程中的应用进行了深入细致的探索与研究,论证了运用LDG方法求解这类方程的稳定性(能量守恒性)和收敛性。本文共分为五章:第一章介绍波动方程的研究背景、本文主要工作和本文创新点;第二章主要介绍间断Galerkin(DG)方法、局部间断Galerkin(LDG)方法和研究过程中用到相关知识;第三章将基于广义交替数值通量的LDG方法应用于求解具有Dirichlet边界条件Burgers方程,通过理论对稳定性及误差估计进行分析,并运用数值实验进行验证;第四章运用选取广义交替数值通量的LDG方法求解具有周期边界条件的一维二阶波动方程,并对能量守恒性和误差估计进行理论论证,通过数值实验验证了理论结果;第五章建立并分析求解二维形式波动方程的LDG方法,借助于三角网格和广义交替数值通量,通过理论分析论证LDG方法的能量守恒性,并且数值算例显示出数值解的误差不会随着时间的推移而显著增加。