传输特征值问题出现在针对一个非均匀的介质的逆散射理论中。它有着广泛的物理背景,比如:使用它们可以估计出散射对象材料的性质,它在逆散射理论的唯一性和重构方面也有重要理论意义。传输特征值问题是一个非线性二次特征值问题,其研究难度无论从高效计算方法还是方法的理论分析来看均明显大于线性特征值问题。由于该问题的重要性,该问题在被提出后就吸引众多相关领域的专家学者的关注。他们的研究工作主要集中在探讨非均匀介质中传输特征值的存在性和性质,折射率的上下界等理论问题上。近年来,传输特征值问题的数值计算方法是工程和计算数学界的热点课题。2010年,Colton等学者首次提出了传输特征值的三种数值方法（Argynis法,连续法,散度协调法）,后来他们的工作引起的计算数学界的高度重视,许多著名学者提出了许多高效计算方法,包括迭代法,多网格方法,谱方法,混合有限元法等。其中迭代法需要一个迭代初值,这就需要确定特征值的一个近似值,此方法适合求解实传输特征值,其理论结果在单特征值前提下得到验证。现有的多网格方法是以迭代法为基础的,理论上具有同样类似的问题。而谱方法对区域的要求比较严格,仅适用于圆、矩形、圆柱等可分离的区域。现有的混合有限元方法虽然高效但缺乏理论分析作其支撑。本文致力于研究特征值问题的高效数值求解方法,其主要内容包括:第一章,介绍传输特征值有限元方法的预备知识,我们回顾了Helmholtz传输特征值问题的经典弱形式,并将其线性化为一个等价的线性非对称特征值问题。线性弱公式是我们研究该问题高效数值算法的基础。以线性弱形式作基础,我们进一步介绍了求解该问题的一个H2-协调元离散,该离散与2010年Colton等学者提出的Argyris元离散在代数上在等价。第二章,在协调元离散下,我们使用多水平校正技术建立了一个新的多网格方案,该方案将传输特征值在细网格上的解简化为一系列非常粗的网格上的解和相应的边值问题在一系列多水平网格上的解。最后我们给出方法的理论分析和数值结果。第三章,参考Verf¨urth建立的四阶问题后验误差估计理论,我们研究了传输特征值问题的协调元后验误差估计和自适应算法,这是一个新的工作,而且这也是高效计算方法中主流方向;我们首先给出源特征函数和共轭特征函数误差的后验估计子,并证明它的可靠性和有效性。根据特征值和数值特征值的基本关系式,我们将给出特征值误差的后验估计子。根据后验误差估计子我们将设计一个高效的自适应算法。这个算法可以用于求解复和重的特征值。在数值实验中我们将采用著名的Argyris元实现我们的自适应算法,并验证后验估计子的可靠性和有效性。从目前我们已经完成的数值例子来看,采用这个自适应算法,在很多情况下我们将获得具有最优收敛阶的数值特征值,即使对一个非凸的区域上的问题仍然有如此的最优收敛阶。第四章,我们提出了一个多维区域上的Hm-协调谱元法（m≥1）,并将H2-协调谱元法用于高效求解传输特征值。我们将按下面的思路进行研究:（1）首先考虑一维标准单元[-1,1]上基函数的构造。由广义雅可比多项式的性质,我们可以利用勒让德多项式或切比雪夫多项式来构造[-1,1]上的泡泡函数,这些泡泡函数在端点-1和1上函数值连同一些低阶导数值均为0。为了保证谱元离散的Hm-协调性,我构造了节点函数值和一些低阶导数值基函数,此外,我们构造了一维标准区间上的谱元插值算子,并证明了相应的插值误差估计。（2）对于多维区域上的标准单元,我们采用一维基函数的张量积作为基函数,和一维插值算子的张量积作为高维单元上的插值算子。利用一维区间上的插值误差估计,我们证明了高维标准单元上的插值误差估计。在高维单元上,我们容易构造标准单元到一般单元的仿射变换。以此做铺垫,我们采用比例论证的方式证明了一般矩形单元上的插值误差估计。（3）我们将构造的H2-协调谱元离散用到传输特征值问题上,并证明该离散下特征值和特征函数的误差估计。最后我们将用数值试验验证该谱元法的高效性。第五章,作为现有文献中的H1型非协调元方法的补充,我们提出了L2型的非协调元方法,使方法覆盖不连续的非协调元空间。我们在分片光滑的Sobolev空间中使用Babuska-Osborn谱逼近理论,证明了该方法的最优收敛阶。在数值试验部分,我们呈现了使用三次四面体元求解该问题的几个数值例子。数值结果表明使用本文的离散和三次四面体元-线性元可以捕捉到比使用现有文献中的Morley-Zienkiewicz元方法更高精度的特征值。第六章,介绍在现有有限元离散下的求解传输特征值的三种其它数值算法和数值试验结果,包括二网格离散算法、H1型非协调元离散算法和Ciarlet-Raviart谱混合离散算法,并用数值试验证明了用前两种算法求解特征值可达到渐进最优收敛阶,使用Ciarlet-Raviart谱混合离散算法数值特征值可以达到谱精度。