非线性偏微分方程（组）是非线性科学的重要研究方向,其理论的深入研究必将推动非线性分析的进一步发展,本文探讨了非线性偏微分方程的两个重要分支:极大值原理和解的爆破。 极值原理是偏微分方程理论研究的基本问题之一,也是一个长盛不衰的课题。我们专注于非线性偏微分方程解的P-函数极值原理方面的几个开问题: 首先考虑了非分离形的二阶散度型椭圆方程 （g（u）u,i）,i+f（x,u）=0 的各种边值问题。我们构造了两种不同形式的含梯度函数P(u,u_k,x),通过对极值原理本质的探讨,导出了它们满足经典极大值原理的条件。从而,较完满地解决了P.W.Schaefer于1977和1978年留下的一些问题。 其次考虑了具非常系数的四阶椭圆型方程 L²u+g（x,u,Lu）+p（x）f（u）=0, 其中Lu:=aij（x）u,ij是一致椭圆算子。我们在适当的条件下得到了该方程解的某些函数的极大值原理,导出了解、解的梯度、椭圆算子等一些重要物理量的界。结论不仅彻底解决了P.W.Schaefer[57]（1987）提出的开问题,而且为具非常系数的一般高阶方程极值原理的研究提供了一些可借鉴的方法和思想。 接着又考虑了二阶一致抛物型方程 β,t（u）=a^ij（x,t）u,ij+bⁱ（x,t）u,i+f（x,t,u） 的各种边值问题。我们以经典极值原理和张量分析为基本工具,导出了函数V（u,u_t）及P（x,t,u,k）满足极大值原理的条件。利用这些极值原理,不仅可以得到解、解的梯度等物理量的界,特别地,还可以得到解的增长估计。从而,我们在相当程度上解决了R.P.Sperb[67]（1981）的遗留问题。 为了发展一般非线性方程的爆破理论,本文还考虑了以非线性抛物型方程 u,t=△（a（u））+f（x,u）