两类随机泛函微分方程的平均法

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动力系统经常受到随机影响,如外部波动、内部扰动以及不确定参数等.这些不确定性或随机性可能会对复杂动力系统的整体演化产生微妙而深远的影响.事实上,在建模过程中,人们已经清楚地认识到需要将随机性考虑在内的重要性.对于由于随机影响的系统,用随机微分方程来模拟是合适的.但在实际系统中,直接处理原始系统是非常困难的.我们必须寻找一种工具简化原始系统以便于研究分析,平均法作为简化动力系统从而得到微分方程近似解的有力工具提供了很大的帮助.因此,将平均法应用到随机微分方程,证明原始系统收敛到一个极限过程,此极限过程相较于原始系统更利于计算和分析,进而可以通过研究极限过程得到原始系统的性质.在本文中主要讨论两类随机泛函微分方程的平均法:首先是双时间尺度随机泛函微分方程的平均法,主要研究具有随机切换的泛函Li(?)nard方程的平均法.由于系统中离散事件(Markov链)的状态空间很大,所以使用分解-聚合的思想来处理所考虑的问题.此外,Markov链在单个组内波动较快,从一个组跳跃到另一个组却较慢.因此,考虑的系统成为一个具有双时间尺度的随机泛函微分方程.利用泛函It(?)公式及鞅问题公式得到了一个弱收敛结果,得到的极限过程可以用于逼近和计算分析原始系统,以降低计算复杂度.其次是具有L(?)vy噪声的随机泛函微分方程的平均法.一方面研究了具有L(?)vy噪声的随机时滞切换方程的平均法.利用逐次逼近法以及Burkholder-Davis-Gundy不等式可证原始方程以及平均方程解的存在唯一性.而后利用具有L(?)vy噪声的随机微分方程的It(?)公式,泰勒公式及平均法,证明具有跳跃的非自治随机时滞切换方程在的意义下收敛于对应的不具有跳跃的自治随机时滞切换方程.另一方面研究具有L(?)vy噪声的脉冲中立型随机泛函微分方程的平均法.在非Lipschitz条件下利用随机不等式、Kunita不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式以及平均法可证得在的意义下具有脉冲的非自治中立型随机泛函微分方程收敛于不具有脉冲的自治中立型随机泛函微分方程.
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