论文部分内容阅读
1912年, Henri Poincar′e在讨论模形式问题时第一次提到了Kloosterman和. 1926 年, H. D. Kloosterman 在研究整数表示为平方和问题时, 运用Hardy-Littlewood方法,在复数域中进一步对经典Kloosterman和进行了研究. 这类和式在解析数论中有着重要的作用和研究价值. 然而我们注意到经典 Kloosterman 和中α及-α的指数均为 1. 事实上在研究某些数论问题时,往往涉及到的一些和式或者带有 Dirichlet 特征, 或者和式中的α和-α的指数不全为1. 故而为了将来研究的方便本文将经典Kloosterman和进行推广,定义两类新和式: (r,s) 型 Kloosterman 和 K(r,s,m,n;q) 与带特征的广义Kloosterman和K(m,n,X;q),并进一步研究它们的性质. 具体地,本文将基于特征和方法,运用特征及Gauss和的相关性质,并结合同余理论, 研究新定义的两类 Kloosterman 和的高次均值问题; 并将研究与其密切联系的二项指数和与三项特征和的混合均值; 作为应用, 本文求解了一类对角同余方程解的个数,并给出包含Chebyshev多项式的一个积分卷积公式,而且彻底解决了陈永高提出的关于Levine-O’Sullivan序列的猜想. 1. 对于 (r,s) 型 Kloosterman 和K(r,s,m,n;q) , 本文取参数q,r,s为一些特殊值,并运用同余的性质,研究其四次均值准确的计算公式. 对于广义Kloosterman和 K(m,n,q) , 本文主要结合 B. J. Birch 的重要工作, 参考S. Chowla，J. Cowles，M. Cowles的工作,以及W. Duke，H.Iwaniec的相关结论去讨论这类广义 Kloosterman和的 2k次均值性质. 并利用三角和及Guass和的性质,解决了其在k取一些小整数值且模p特征x取一些特殊情形时准确的计算公式. 2. 本文利用特征和的性质以及相关的同余理论,将二项指数和与三项特征和中的参数均取为k=3, ?=2, 给出二项指数和与三项特征和混合均值的计算公式. 3. 作为指数和问题的应用, 我们利用特征和的性质及分析的手段,给出对角三次同余方程解的个数的计算公式. 即当c/≡0 modp时, 本文给出三次同余方程x31+x32+x33+x34≡cmodp解的个数的计算公式. 并且作为一个推论,还可以得出二项指数和四次均值的计算公式. 4. Chebyshev多项式是一类很重要的正交多项式,我们知道它的许多性质的研究在数值分析、工程数学、金融数学、非线性数学物理方程中都有着重要的应用. 本文给出第一类Chebyshev多项式的积分卷积公式,研究的方法主要是利用代数手段并结合第一类Chebyshev多项式的性质, 5. 对于 Levine-O’Sullivan 序列 {qn} , 陈永高提出两个猜想, 杨仕椿与蒋自国对其进行研究并已经解决了第二个猜想. 但对第一个猜想, 至今还未被证明其准确性. 本文则继续研究这个问题并将彻底解决这一猜想,严格地证明了qn =ββ-3nβ+o(nβ). 主要用到的方法是最初等的数学归纳法以及数学分析的理论.