【摘 要】
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设p是一个奇素数。关于有限p-群的自同构群的下界，有一个著名的猜想，若H是一个阶大于p2的有限非循环p-群，则H的阶整除其自同构群的阶，这就是久悬未决的LA-猜想，满足LA-猜想的群H称
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设p是一个奇素数。关于有限p-群的自同构群的下界，有一个著名的猜想，若H是一个阶大于p2的有限非循环p-群，则H的阶整除其自同构群的阶，这就是久悬未决的LA-猜想，满足LA-猜想的群H称为LA-群.Richard M.Davitt、俞曙霞、班桂宁、李世余等，利用中心及中心商的性质证明了很大一部分有限p-群是LA-群。
本文立足于前人的研究基础上，主要围绕中心非循环和中心循环这两条主线，研究pn(n＞2）阶有限非循环p-群的LA-猜想，获得一些新的结果.具体地，有以下两方面内容：⑴假设G是一个中心非循环的pn(n＞2）阶有限非循环p-群，我们利用反证法证明了群G的自同构群的Sylow p-子群的阶大于或等于pmin{8,n}.根据这个结果，我们得到每个中心非循环的p8阶有限非循环p-群都是LA-群，并且进一步证明了每个中心非循环的有限p-群的自同构群的阶不可能等于p7，这一结果推广了近年来有关自同构群的阶方面的一些已知结果。⑵证明并给出了一些中心循环且中心商为p6阶的有限非循环p-群.具体地说，设H是P.Hall iscolinsim族基于p6阶的第一至第十六家族群（Φ1-Φ16）及第四十家族群（Φ40）的有限p-群，且群G的中心是pn阶循环群.我们先利用P.Hall恒等式、亚交换群的幂结构公式或者通过证明x∈Z(G)得出矛盾等方法排除一些不存在群G，使得G/Z(G)≌H的p6阶群H.其次，利用H(o)lder定理、Schreier扩张理论及自由群理论等知识证明并给出了一些群G，使得G/Z(G)≌H。
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