本文的研究对象是与高阶谱问题相联系的可积方程,研究内容分为两大部分:利用基于Riemann–Hilbert问题的Fokas统一变换方法研究可积方程在半直线上的初边值问题,以及利用基于Riemann–Hilbert问题的Deift–Zhou非线性最速下降法研究可积方程初值问题解的长时间渐近行为.在本文的第二章中,我们研究耦合非线性Schr¨odinger方程的初边值问题.首先,利用初始和所有边值数据分别定义谱函数(6))和(6)),并借助Fredholm积分方程构造相关的Riemann–Hilbert问题,其中跳跃矩阵是由(6))和(6))确定的.然后,我们证明方程的解可以由Riemann–Hilbert问题的解给出,且得到的解与初值和边值数据吻合.对于适定问题,一部分边值是未知的,然而对于一类特殊的边界条件,即线性化边界条件,我们可以利用(6))表示(6)).对于非线性化边界条件,利用扰动展开法给出未知边界值的一个有效表示.在第三章中,我们研究耦合修正Korteweg–de Vries方程的初边值问题.与第二章不同的是,本章我们采取“打包”的思想,将方程的高阶Lax对写成2×2分块矩阵的形式,并利用谱问题的特征函数的组合来构造相关的Riemann–Hilbert问题.此外,引入Sherman–Morrison公式,巧妙地推出了Riemann–Hilbert问题的跳跃矩阵和相应的留数条件.在本文的第四章中,我们利用矩阵分块将高阶谱问题低阶化,构造一个2×2的分块矩阵Riemann–Hilbert问题.首先,引入矩阵函数并作原Riemann–Hilbert问题的一个等价变换,然而满足矩阵Riemann–Hilbert问题的函数的不可解性给我们带来了挑战,幸运的是,文中利用的渐近逼近克服了这一困难.然后,利用非线性最速下降法,将Riemann–Hilbert问题经过一系列变换后,我们得到一个抛物柱面方程.最终,借助标准抛物柱面函数的渐近性研究了耦合非线性Schr¨odinger方程在衰减初值条件下解的长时间渐近行为.与第四章采用的方法类似,在第五章中,我们从Sasa–Satsuma方程的Lax对出发,构造相应的Riemann–Hilbert问题,并借助非线性最速下降法以及标准抛物柱面函数,求出了该方程的渐近主部.与第四章不同的是,本章涉及到两个驻相点,相应Riemann–Hilbert问题的跳跃曲线更复杂.