非线性薛定谔方程是非线性科学中普适性很强的一个基本方程,该方程在很多领域上有着广泛的应用,如非线性光学、量子力学、流体力学、等离子物理以及在极低温度下的Bose-Einstein凝聚体的动力学等。随着计算技术的发展,越来越多类型的非线性薛定谔方程被众多学者研究,提出了丰富多样的数值方法。本文主要研究数值方法求解三种类型的非线性薛定谔方程:平面直角坐标系下,极坐标系下的非线性薛定谔方程,以及二维分数阶非线性薛定谔方程。针对平面直角坐标系下的二维非线性薛定谔方程构造了守恒的有限差分格式。为了提高计算效率,首先将二维拉普拉斯算子的差分矩阵写成Kronecker积的形式。然后再应用Kronecker积的性质将微分矩阵对角化,得到相应的特征值和特征向量。最后结合快速Fourier变换实现快速求解。数值实验验证了离散质量与能量的守恒性,而且大大降低了计算机储存和CPU运算时间,证实了此方法的高效性。针对极坐标下的二维非线性薛定谔方程,首先将拉普拉斯算子在极坐标下表示,依次在r方向和?方向进行网格划分,在空间离散方面运用中心差分的方法,在时间离散上则采用积分因子的方法,再应用Kronecker积与矩阵向量化来求解在极坐标下的二维非线性薛定谔方程。在具体实现过程中,采用Kroylov子空间的方法对指数矩阵与向量的乘积进行求解,最后利用不动点迭代的方法在每个单元上求解非线性方程组。数值实验的结果表明此方法能够很好的捕捉爆破解。针对二维分数阶非线性薛定谔方程,首先将整数阶导数推广至分数阶导数,通过特征分解以及插值逼近得到谱微分矩阵的分数次幂,进而推导出分数阶导数的微分矩阵。然后在空间上采用Fourier拟谱方法的离散,对半离散后的格式证明了质量与能量的守恒性。在时间上采用紧致积分因子的方法进行离散。最后通过数值实验验证了质量与能量守恒,同时也表明了此算法可以保持高精度的同时,捕捉爆破解。本文第一章介绍了非线性薛定谔方程的概念及研究现状,并阐述了本文的创新点。第二章探究了微分矩阵的推导过程,微分矩阵的特征值及特征向量的推导过程以及后续文章中所应用的概念和性质。第三章论述了直角坐标系下非线性薛定谔方程的数值方法。第四章对极坐标下的非线性薛定谔方程进行了数值模拟。第五章将整数阶推广至分数阶,研究分数阶非线性薛定谔方程的数值模拟。