【摘 要】
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图兰问题是极值图论的核心,它研究在给定条件下（不含某种特定的子图）最大可能的边数.这类问题中最基本的、同时也是研究最早的问题之一是关于4圈的问题.研究4圈对图兰问题,尤其是退化类问题的发展有着重要的启示作用.这篇文章主要研究4圈的极值问题,特别是两个著名的猜想:一个是Erd（?）s在上世纪七十年代提出的猜想,说ex（n,C4）=1/2n3/2+1/4n+o（n）.另一个是Erd（?）s和Simon
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图兰问题是极值图论的核心,它研究在给定条件下（不含某种特定的子图）最大可能的边数.这类问题中最基本的、同时也是研究最早的问题之一是关于4圈的问题.研究4圈对图兰问题,尤其是退化类问题的发展有着重要的启示作用.这篇文章主要研究4圈的极值问题,特别是两个著名的猜想:一个是Erd（?）s在上世纪七十年代提出的猜想,说ex（n,C4）=1/2n3/2+1/4n+o（n）.另一个是Erd（?）s和Simonovits提出的关于C4数目的猜想,说任意n个顶点ex（n,C4）+1条边的图都至少包含（1+o（1））（?）个C4.而且Erd（?）s多次提到这是他最喜欢的问题之一.我们将会在本文解决它们,具体如下.在第一章,我们介绍图论和有限几何的基本概念,再给出C4问题的背景知识,展示我们的研究成果.在第二章,我们改进了 ex（n,C4）的上界.对很大一部分整数n,这个结果渐进地给出了 ex（n,C4）的界.同时,它还否证了 Erd（?）s关于ex（n,C4）的猜想.在第三章,我们展示两个关于4圈的极值结果.令q是一个大的偶数.第一,我们证明（q2+q+1）点且至少1/2q（q+1）2-0.2q边的无C4图一定是唯一确定的某个极性图的子图.这给出Füedi关于C4极值结论的稳定性版本.第二,我们证明每个（q2+q+1）点和1/2q（q+1）2+1边的图至少包含q-1个C4.这说明Erd（?）s和Simonovits关于C4数目的猜想对无穷多个整数成立.在第四章,我们给出更多的4圈极值结论.一个是当点数接近极性图时,对应的C4极图是极性图的子图.另一个是,当q=4k是大整数时,我们得到ex（q2+q+2,C4）的值并且给出很多不同的极图.由此发现无穷多个有（q2+q+2）个顶点与ex（q2+q+2,C4）+1条边,且只含有一个C4的图.这否证了 Erd（?）s和Simonovits的猜想.在第五章,我们给出ex（n,{C3,C4}）的相关结论.然后在第六章介绍一些关于其它图论问题的研究结果.最后一章列出未来的研究计划.
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